Теорема косинусов. Доказательство

См. также Теорема синусов.

Формулировка теоремы косинусов:

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними.

Доказательство теоремы косинусов:

Рассмотрим треугольник ABC.
Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.

Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, то величину стороны AD можно найти из соотношения тригонометрических функций:
AD / AC = cos α
AD = AC cos α
AD = b cos α

Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB - AD
BD = c − b cosα

Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
CD² + BD² = BC²
CD² + AD² = AC²
откуда
CD² = BC² - BD²
CD² = AC² - AD²

Поскольку левые части уравнений равны, то приравняем правые части уравнений:
BC² - BD² = AC² - AD²

подставим значения сторон (a,b,c)
a² - (c − b cos α)² = b² - (b cos α)²
a² = (c − b cos α)² + b² - (b cos α)²
a² = b² + c ² - 2bc cos α + (b cos α)² - (b cos α)²
a² = b² + c ² - 2bc cos α

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Теорема косинусов

Теорема косинусов формулируется следующим образом: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Задача

Одна из сторон треугольника больше другой на 8 сантиметров, а угол между ними равен 120 градусам. Найдите периметр треугольника, если длин третьей стороны равна 28 см.

Решение.

Обозначим одну из сторон треугольника как x, тогда величина другой равна x+8 см.

Исходя из теоремы косинусов, получим:
28² = x² + (x+8)²-2x(x+8)cos120^o
784 = x² + x² +16x + 64 - 2x(x+8)(-0,5)
784 = 2x²+16x + 64 + x(x+8)
720 = 3x² + 16x + 8x
3x² + 24x +720 = 0
D=9216
x₁=((-24)+96)/6=12 (второй корень является отрицательным числом и не имеет смысла в рамках решения задачи)

Таким образом, периметр треугольника P=12+(12+8)+28 = 60 см.

Ответ: 60 см

Задача

В треугольнике АВС сторона АС равна 7√3 см, сторона ВС равна 1 см. Угол С равен 150 градусам. Найти длину стороны АВ.

Решение.
Применим теорему косинусов и соответствующую формулу (см.выше)
AB² = (7√3)² + 1² - 2 (7√3) cos 150º

Значение косинуса 150 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций.
AB² = 147 + 1 - 14√3 (-√3/2)
AB² = 148 + 21 = 169
AB = 13

Ответ: 13 см

Многоугольники

Понятие многоугольника

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, представляющая собой замкнутую ломаную линию.

Существуют три варианта определения многоугольников:

• Многоугольник - это плоская замкнутая ломаная линия;
• Многоугольник - это плоская замкнутая ломаная линия без самопересечений;
• Многоугольник - это часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом

Многоугольник называют выпуклым, при условии, что одно из следующих условий является верным:

• Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины;
• Выпуклый многоугольник является пересечением нескольких полуплоскостей;
• Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих выпуклому многоугольнику, полностью ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства многоугольника

• Сумма внутренних углов n-угольника равна (n − 2)π.
• Сумма внутренних углов правильного n-угольника равна 180(n − 2).
• Число диагоналей всякого многоугольника равно n(n − 3) / 2, где n — число сторон.