Определение. Однополостным и двуполостным гиперболоидами называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида
F1: + – = 1 (6) F2: + – = –1. (7)
Исследуем их форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z = h получаем соответственно кривые
+ = 1+ + = –1+ (*)
Обозначим соответственно
a ¢2 = a 2(1+) , b ¢2 = b 2(1+); a ¢2= a 2½ –1+ ½, b ¢2= b 2½ –1+ ½,
h ¹ ± c
при любом h получаем эллипсы при ½ h ½> c получаем эллипсы
+ = 1
полуоси которых a ¢ и b ¢ неограни- полуоси которых a ¢ и b ¢ неогченно возрастают при возрас- раниченно возрастают при воз-
тании ½ h ½, и достигают минимумов растаснии ½ h ½; при ½ h ½< c
a и b при h = 0. получаем мнимые эллипсы
+ = –1 (Æ), а при h = ± c
(*) превращается в + = 0,
а это уравнение задает одну из
точек C 1(0, 0, c) или C 2(0, 0,– c).
В сечениях плоскостями y = h получаем соответственно кривые
– = 1– (**) – = –1–
Обозначим соответственно
a ¢2 = a 2½ 1– ½ , c ¢2 = c 2½ 1– ½ a ¢2 = a 2(1+) , c ¢2 = c 2(1+).
и при h ¹ ± b получаем гиперболы, и при любом h получаем гиперболы
+ = ±1, – + = 1.
а при h = ± b (**) превращается в
уравнение – = 0, которое задает
пару пересекающихся прямых.
Аналогично, в сечениях F2 плоскостями y = h получаем только гиперболы, а в сечениях F1 – гиперболы или пары прямых при h = ± a.
Прочие геометрические свойства гиперболоидов.
1. Из уравнения (7) получаем, что ½ z ½³ c, т.е. в пространственном слое z < c нет точек F2. Координатные оси Ox и Oy пересекают F1 в точках A 1(a, 0, 0), A 2(– a, 0, 0), B 1(0,– b, 0), B 2(0, b, 0), которые называются его вершинами. Ось Oz его не пересекает. Зато ось Oz пересекает F2 в точках C 1(0, 0, c), C 2(0, 0,– c), которые называются его вершинами. Оси Ox и Oy не пересекают F2.
2. Точно так же, как и для эллипсоида доказывается, что координатные оси являются осями симметрии гиперболоидов, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а точка O – центром симметрии.
3. При a = b гиперболоиды будут поверхностями вращения, а при a = c гиперболы в сечениях плоскостями y = h будут равнобокими. При b = c равнобокими будут гиперболы в сечениях плоскостями x = h.
4. Пусть Fo – конус, заданный уравнением
Fo: + – = 0.
Пусть M o(x, y, z o)Î Fo, M 1(x, y, z 1)Î F1, M 2(x, y, z 2)Î F2 – три точки с одинаковыми координатами x и y, лежащие на конусе и на гиперболоидах. Тогда
z o2= c 2( + ), z 12= c 2( + –1), z 22= c 2( + +1) Þ
½ z 12½ <½ z o2½ <½ z 22½, а значит, F1 лежит снаружи конуса Fo, а F2 – внутри. Кроме того, из тех же равенств следует z o2– z 12= z 22– z o2 = c 2 Þ
M o M 1=½ z o– z 1½ = ® 0 и M 2 M o=½ z 2– z o½ = ® 0,
когда точки M o, M 1, M 2 уходят на бесконечность (необходимо при этом заметить, что z o, z 1 и z 2 все стремятся к бесконечности при x ® ¥ или y ® ¥). Значит, оба гиперболоида асимптотически приближаются к конусу.
 |  | ||||
 |
5. Мы уже видели, что в сечениях F1 плоскостями может получаться пара прямых. Примем без доказательства, что F1 является линейчатой поверхностью и через каждую его точку проходит пара прямых, лежащая на поверхности.
