Лекции.Орг


Поиск:




Однополостной и двуполостной гиперболоиды




Определение. Однополостным и двуполостным гиперболоидами называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида

F1: + = 1 (6) F2: + = –1. (7)

Исследуем их форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z = h получаем соответственно кривые

+ = 1+ + = –1+ (*)

Обозначим соответственно

a ¢2 = a 2(1+) , b ¢2 = b 2(1+); a ¢2= a 2½ –1+ ½, b ¢2= b 2½ –1+ ½,

h ¹ ± c

при любом h получаем эллипсы при ½ h ½> c получаем эллипсы

+ = 1

полуоси которых a ¢ и b ¢ неограни- полуоси которых a ¢ и b ¢ неогченно возрастают при возрас- раниченно возрастают при воз-

тании ½ h ½, и достигают минимумов растаснии ½ h ½; при ½ h ½< c

a и b при h = 0. получаем мнимые эллипсы

+ = –1 (Æ), а при h = ± c

(*) превращается в + = 0,

а это уравнение задает одну из

точек C 1(0, 0, c) или C 2(0, 0,– c).

В сечениях плоскостями y = h получаем соответственно кривые

= 1– (**) – = –1–

Обозначим соответственно

a ¢2 = a 2½ 1– ½ , c ¢2 = c 2½ 1– ½ a ¢2 = a 2(1+) , c ¢2 = c 2(1+).

и при h ¹ ± b получаем гиперболы, и при любом h получаем гиперболы

+ = ±1, – + = 1.

а при h = ± b (**) превращается в

уравнение – = 0, которое задает

пару пересекающихся прямых.

Аналогично, в сечениях F2 плоскостями y = h получаем только гиперболы, а в сечениях F1 – гиперболы или пары прямых при h = ± a.

Прочие геометрические свойства гиперболоидов.

1. Из уравнения (7) получаем, что ½ z ½³ c, т.е. в пространственном слое z < c нет точек F2. Координатные оси Ox и Oy пересекают F1 в точках A 1(a, 0, 0), A 2(– a, 0, 0), B 1(0,– b, 0), B 2(0, b, 0), которые называются его вершинами. Ось Oz его не пересекает. Зато ось Oz пересекает F2 в точках C 1(0, 0, c), C 2(0, 0,– c), которые называются его вершинами. Оси Ox и Oy не пересекают F2.

2. Точно так же, как и для эллипсоида доказывается, что координатные оси являются осями симметрии гиперболоидов, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а точка O – центром симметрии.

3. При a = b гиперболоиды будут поверхностями вращения, а при a = c гиперболы в сечениях плоскостями y = h будут равнобокими. При b = c равнобокими будут гиперболы в сечениях плоскостями x = h.

4. Пусть Fo – конус, заданный уравнением

Fo: + = 0.

Пусть M o(x, y, z o Fo, M 1(x, y, z 1 F1, M 2(x, y, z 2 F2 – три точки с одинаковыми координатами x и y, лежащие на конусе и на гиперболоидах. Тогда

z o2= c 2( + ), z 12= c 2( + –1), z 22= c 2( + +1) Þ

½ z 12½ <½ z o2½ <½ z 22½, а значит, F1 лежит снаружи конуса Fo, а F2 – внутри. Кроме того, из тех же равенств следует z o2z 12= z 22z o2 = c 2 Þ

M o M 1z oz 1½ = ® 0 и M 2 M oz 2z o½ = ® 0,

когда точки M o, M 1, M 2 уходят на бесконечность (необходимо при этом заметить, что z o, z 1 и z 2 все стремятся к бесконечности при x ® ¥ или y ® ¥). Значит, оба гиперболоида асимптотически приближаются к конусу.

           
   
 
 
   

 


 

5. Мы уже видели, что в сечениях F1 плоскостями может получаться пара прямых. Примем без доказательства, что F1 является линейчатой поверхностью и через каждую его точку проходит пара прямых, лежащая на поверхности.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-10-30; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 635 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Жизнь - это то, что с тобой происходит, пока ты строишь планы. © Джон Леннон
==> читать все изречения...

845 - | 713 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.