Прямую l на плоскости можно задать
а) с помощью точки A oÎ l и ненулевого вектора ½½ l ; тогда можем написать, что
l ={ M ½ ½½ }; (*)
б) с помощью точки A oÎ l и ненулевого вектора ^ l; тогда можем написать, что
l ={ M ½ ^ }; (**)
в) с помощью двух точек A o, A 1Î l.
Вектор ½½ l называется направляющим вектором прямой, а вектор ^ l называется вектором нормали к прямой.
Теорема 1. 1. Прямая l, проходящая через точку A o(x o, y o), и имеющая направляющий вектор (a 1, a 2), задается уравнением
=, (9)
которое называется каноническим уравнением прямой, или параметрическими уравнениями:
x = x o + a 1 t,
y = y o + a 2 t, t Î R,
которые можно записать в векторном виде так:
= + t, t Î R, (10¢)
где = – радиус-вектор точки A o.
2. Прямая, проходящая через две точки A o(x o, y o) и A 1(x 1, y 1), задается уравнением
=, (11)
3. Прямая, проходящая через точку A o(x o, y o), и имеющая вектор нормали (A, B), задается в декартовой СК уравнением
A (x – x o) + B (y – y o) = 0. (12)
4. Прямая, отсекающая на координатных осях отрезки длины a ¹ 0, b ¹ 0, задается уравнением
+ = 1, (13)
(уравнение прямой в отрезках).
Предполагается, что в пунктах 1, 2 и 4
СК является произвольной аффинной, а числа a и b в пo4 могут быть отрицатель-
ными. В уравнениях (10) и (10¢) в дальнейшем писать t Î R не будем: это будет подразумевается.
Доказательство. 1. Пусть M (x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда (x – x o, y – y o)½½ (a 1, a 2), а по второму признаку коллинеарности векторов (теор.1¢ §7, гл.1) это равносильно (9).
Обратно, если для координат точки M (x, y) выполнено (9), то по тому же признаку ½½, а значит, M Î l.
По первому признаку коллинеарности векторов ½½ Û $ t Î R, такое что = t . В координатах последнее равенство имеет вид
x – x o = t a 1, y – y o = t a 2,
Для того, чтобы получить уравнение (10) осталось перенести x o и y o в другую часть равенства.
2. Если прямая проходит через две точки A o(x o, y o) и A 1(x 1, y 1), то вектор (x 1– x o, y 1– y o) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Подставляя его координаты в (9) вместо a 1, a 2, получим (11).
3. Пусть M (x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда
(x – x o, y – y o) ^ (A, B) Û · = 0, а в координатах это условие как раз имеет вид (12). Обратно, если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (12), то ^ , а значит, M Î l.
4. Условие означает, что прямая проходит через точки A (a, 0) и B (0, b). Подставляя их координаты в (10), получим
= Û = Û (13).
При ответе на экзамене недостаточно написать уравнение прямой: требуется обязательно указать, что означает каждый из параметров, входящих в уравнение. Например, выписав каноническое или параметрическое уравнение прямой, следует указать, что (x o, y o) – это координаты точки, через которую проходит прямая, а (a 1, a 2) – координаты направляющего вектора. Без данных пояснений ответ в виде выписанного уравнения расценивается, как отсутствие ответа.
Следствие. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида
Ax + By + C = 0, (14)
которое называется общим уравнением прямой. И обратно, любое уравнение вида (14) на плоскости задает прямую.
Доказательство. Любую прямую на плоскости можно задать с помощью точки и вектора нормали. Тогда ее уравнение в декартовой СК будет иметь вид (12). Раскроем скобки:
Ax + By – Ax o– By o = 0
и обозначим C = – Ax o– By o= const. Получим уравнение (14).
Обратно, пусть некоторое множество l определяется уравнением (14), и A o(x o, y o) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (14): Ax o + By o + C = 0 Þ C = – Ax o– By o. Подставляя это значение в (14) получим (12), а это уравнение, как уже известно, определяет прямую.
Попутно мы выяснили геометрический смысл коэффициентов A и B в общем уравнении прямой: это координаты вектора нормали к прямой: (A, B). И этот факт чрезвычайно важен при исследовании положения прямой и при решении различных задач про прямую на плоскости. Но этот факт верен только в случае декартовой СК.
Если СК на плоскости не является декартовой, то это следствие можно доказать с помощью уравнения (9). В дальнейшем, СК предполагается декартовой, если не оговорено противное.
Рассмотрим различные частные случаи общего уравнения прямой.
1. C = 0 Û l : Ax + By = 0. Тогда урав-нению удовлетворяют координаты точки O (0, 0), т.е. прямая проходит через начало координат.
2. A = 0 Û By + C = 0 Û y = – C / B. Прямая l || Ox.
3. B = 0 Û Ax + C = 0 Û x = – C / A. Прямая l || Oy.
4. B ¹ 0. Тогда (14) можно переписать так: y = – x –. Обозначим k = – A/B, q = – C / B, и получим уравнение
y = k x + q, (15)
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловым называется коэффициент k. Выясним почему.
Пусть P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) – две произвольные точки на прямой l, где y 2 ³ y 1. Подставим их координаты в уравнение прямой: y 1 = k x 1 + q, y 2 = k x 2 + q. Вычтем из второго равенства первое:
y 2 – y 1= k (x 2 – x 1).
Поскольку мы исключили случай l ½½ Oy, то x 2 ¹ x 1 Þ
k =. (***)
Выберем на прямой l направление, соответствующее возрастанию ординаты y, и назовем его положительным. Пусть a – угол между положительным направлением оси Ox и положительным направлением прямой l. Назовем его углом наклона прямой. Пусть S – точка с координатами (x 2, y 1).
 | |||
 |
1 случай: x 2 > x 1. Тогда y 2 – y 1 = QS, x 2 – x 1 = PS и из D PQS находим, что k = QS / PS = tg a.
2 случай: x 2< x 1. Тогда y 2 – y 1= QS, x 2 – x 1= – PS Þ k = – QS / PS = = – tg b, где b = Ð QPS. Но b = p – a Þ – tg b = tg a. Значит, как и в первом случае k = QS / PS = tg a.
Итак, мы доказали, что k есть тангенс угла наклона прямой. Поэтому он называется угловым коэффициентом. А геометрический смысл коэффициента q очевиден: это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.
