Уравнение прямой на плоскости

Прямую l на плоскости можно задать

а) с помощью точки A _oÎ l и ненулевого вектора ½½ l ; тогда можем написать, что

l ={ M ½ ½½ }; (*)

б) с помощью точки A _oÎ l и ненулевого вектора ^ l; тогда можем написать, что

l ={ M ½ ^ }; (**)

в) с помощью двух точек A _o, A ₁Î l.

Вектор ½½ l называется направляющим вектором прямой, а вектор ^ l называется вектором нормали к прямой.

Теорема 1. 1. Прямая l, проходящая через точку A _o(x _o, y _o), и имеющая направляющий вектор (a ₁, a ₂), задается уравнением

=, (9)

которое называется каноническим уравнением прямой, или параметрическими уравнениями:

x = x _o + a ₁ t,

y = y _o + a ₂ t, t Î R,

которые можно записать в векторном виде так:

= + t, t Î R, (10¢)

где = – радиус-вектор точки A _o.

2. Прямая, проходящая через две точки A _o(x _o, y _o) и A ₁(x ₁, y ₁), задается уравнением

=, (11)

3. Прямая, проходящая через точку A _o(x _o, y _o), и имеющая вектор нормали (A, B), задается в декартовой СК уравнением

A (x – x _o) + B (y – y _o) = 0. (12)

4. Прямая, отсекающая на координатных осях отрезки длины a ¹ 0, b ¹ 0, задается уравнением

+ = 1, (13)

(уравнение прямой в отрезках).

Предполагается, что в пунктах 1, 2 и 4

СК является произвольной аффинной, а числа a и b в п^o4 могут быть отрицатель-

ными. В уравнениях (10) и (10¢) в дальнейшем писать t Î R не будем: это будет подразумевается.

Доказательство. 1. Пусть M (x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда (x – x _o, y – y _o)½½ (a ₁, a ₂), а по второму признаку коллинеарности векторов (теор.1¢ §7, гл.1) это равносильно (9).

Обратно, если для координат точки M (x, y) выполнено (9), то по тому же признаку ½½, а значит, M Î l.

По первому признаку коллинеарности векторов ½½ Û $ t Î R, такое что = t . В координатах последнее равенство имеет вид

x – x _o = t a ₁, y – y _o = t a ₂,

Для того, чтобы получить уравнение (10) осталось перенести x _o и y _o в другую часть равенства.

2. Если прямая проходит через две точки A _o(x _o, y _o) и A ₁(x ₁, y ₁), то вектор (x ₁– x _o, y ₁– y _o) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Подставляя его координаты в (9) вместо a ₁, a ₂, получим (11).

3. Пусть M (x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда

(x – x _o, y – y _o) ^ (A, B) Û · = 0, а в координатах это условие как раз имеет вид (12). Обратно, если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (12), то ^ , а значит, M Î l.

4. Условие означает, что прямая проходит через точки A (a, 0) и B (0, b). Подставляя их координаты в (10), получим

= Û = Û (13).

При ответе на экзамене недостаточно написать уравнение прямой: требуется обязательно указать, что означает каждый из параметров, входящих в уравнение. Например, выписав каноническое или параметрическое уравнение прямой, следует указать, что (x _o, y _o) – это координаты точки, через которую проходит прямая, а (a ₁, a ₂) – координаты направляющего вектора. Без данных пояснений ответ в виде выписанного уравнения расценивается, как отсутствие ответа.

Следствие. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида

Ax + By + C = 0, (14)

которое называется общим уравнением прямой. И обратно, любое уравнение вида (14) на плоскости задает прямую.

Доказательство. Любую прямую на плоскости можно задать с помощью точки и вектора нормали. Тогда ее уравнение в декартовой СК будет иметь вид (12). Раскроем скобки:

Ax + By – Ax _o– By _o = 0

и обозначим C = – Ax _o– By _o= const. Получим уравнение (14).

Обратно, пусть некоторое множество l определяется уравнением (14), и A _o(x _o, y _o) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (14): Ax _o + By _o + C = 0 Þ C = – Ax _o– By _o. Подставляя это значение в (14) получим (12), а это уравнение, как уже известно, определяет прямую.

Попутно мы выяснили геометрический смысл коэффициентов A и B в общем уравнении прямой: это координаты вектора нормали к прямой: (A, B). И этот факт чрезвычайно важен при исследовании положения прямой и при решении различных задач про прямую на плоскости. Но этот факт верен только в случае декартовой СК.

Если СК на плоскости не является декартовой, то это следствие можно доказать с помощью уравнения (9). В дальнейшем, СК предполагается декартовой, если не оговорено противное.

Рассмотрим различные частные случаи общего уравнения прямой.

1. C = 0 Û l : Ax + By = 0. Тогда урав-нению удовлетворяют координаты точки O (0, 0), т.е. прямая проходит через начало координат.

2. A = 0 Û By + C = 0 Û y = – C / B. Прямая l || Ox.

3. B = 0 Û Ax + C = 0 Û x = – C / A. Прямая l || Oy.

 

 

4. B ¹ 0. Тогда (14) можно переписать так: y = – x –. Обозначим k = – A/B, q = – C / B, и получим уравнение

y = k x + q, (15)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловым называется коэффициент k. Выясним почему.

Пусть P (x ₁, y ₁), Q (x ₂, y ₂) – две произвольные точки на прямой l, где y ₂ ³ y ₁. Подставим их координаты в уравнение прямой: y ₁ = k x ₁ + q, y ₂ = k x ₂ + q. Вычтем из второго равенства первое:

y ₂ – y ₁= k (x ₂ – x ₁).

Поскольку мы исключили случай l ½½ Oy, то x ₂ ¹ x ₁ Þ

k =. (***)

Выберем на прямой l направление, соответствующее возрастанию ординаты y, и назовем его положительным. Пусть a – угол между положительным направлением оси Ox и положительным направлением прямой l. Назовем его углом наклона прямой. Пусть S – точка с координатами (x ₂, y ₁).

 

 

1 случай: x ₂ > x ₁. Тогда y ₂ – y ₁ = QS, x ₂ – x ₁ = PS и из D PQS находим, что k = QS / PS = tg a.

2 случай: x ₂< x ₁. Тогда y ₂ – y ₁= QS, x ₂ – x ₁= – PS Þ k = – QS / PS = = – tg b, где b = Ð QPS. Но b = p – a Þ – tg b = tg a. Значит, как и в первом случае k = QS / PS = tg a.

Итак, мы доказали, что k есть тангенс угла наклона прямой. Поэтому он называется угловым коэффициентом. А геометрический смысл коэффициента q очевиден: это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.