Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве

Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz и пусть M (x, y, z) – произвольная точка. Опустим перпендикуляр MM _o на плоскость Oxy. Тогда, очевидно, ½ MM _o½= z. Обозначим r =½ OM ½, y =Ð M _o OM; при этом, если z >0, то считаем, что y >0, а если z <0, то y <0. Пусть (r, j) – полярные координаты точки M _o на

плоскости. Тогда тройка (r, j, y) называется сферическими координатами точки M, а тройка (r, j, z) – ее цилиндрическими координатами. Очевидно, что 0 £ r < +¥, –p/2 £ y £ p/2. Если y = ± p/2, то точка M лежит на оси Oz, M _o= O и тогда j считается неопределенным.

Найдем формулы, которые связывают декартовы, сферичес-кие и цилиндрические координаты

точки M. Из D OMM _o находим, что

r = r × cosy, r = ,

z = r × siny. (15) y = arcsin (15¢)

Эти формулы можно рассматривать, как переход от сферических координат к цилиндрическим и обратно; а j у этих систем координат общее. Формулы (14) и (14¢ ) можно рассматривать, как переход от цилиндрических координат к декартовым, и обратно. Подставляя (15) в (14) получаем формулы перехода от сферических координат к декартовым, а подставляя (14¢ ) в (15¢) получаем формулы перехода от декартовых координат к сферическим:

x = r cos j × cosy, r =,

y = r sin j × cosy, (16) j = ± arccos , (16¢)

z = r × siny. y = arcsin( z /r) .

Во второй формуле из (16¢) знак выбирается в соответствии со знаком y.

Сферические координаты можно использовать для введения внутренних координат на сфере. Если начало координат поместить в центр сферы радиуса r, то j и y будут играть роль географических долготы и широты точки M, лежащей на сфере; пишем M (j, y). Точно также цилиндрические координаты позволяют ввести внутренние координаты на поверхности цилиндра. Если начало координат разместить на оси цилиндра радиуса r, то j и z будут координатами точки M, лежащей на поверхности цилиндра; пишем M (j, z).

 

 

Ни в коем случае не следует путать сферические и цилиндрические координаты в пространстве с внутренними координатами на сфере и цилиндрической поверхности. Очень распространена на экзамене ошибка, когда вместо первого рисунка в этом параграфе рисуют второй и третий.

Преобразование координат.

Пусть на плоскости заданы две декартовы системы координат Oxy и O ¢ x ¢ y ¢, у которых направления координатных осей совпадают, но начальные точки O и O ¢ разные. Говорим, что вторая СК получена из первой переносом начала координат в точку O ¢.

Пусть нам известны координаты точки O ¢ относительно первой СК: O ¢(a, b). Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относительно первой СК, (x ¢, y ¢) – относительно второй СК. Найдем связь между этими координатами.

По определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Поэтому

(a, b), (x, y), (x ¢, y ¢).

По правилу треугольника сложения векторов

= + .

Отсюда

x = x ¢ + a, x ¢ = x – a,

y = y ¢ + b. y ¢= y – b.

Аналогично, если в пространстве мы совершим перенос начала координат в точку O ¢(a, b, c), то к

формулам (17) и (17¢ ) только добавятся равенства z ¢= z + c и z = z ¢+ c .

Заметим, что все наши рассуждения справедливы и в случае переноса начала произвольной аффинной СК.

Пусть теперь на плоскости заданы две декартовы СК с общим началом: Oxy и Ox ¢ y ¢. Пусть a – ориентированный угол между положительными направлениями осей Ox и Ox ¢. Тогда говорим, что вторая СК получена из первой поворотом на угол a. Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относи-

тельно первой СК, ( x ¢, y ¢) – относительно второй СК.

Найдем связь между этими координатами. Пусть j – ориентированный угол между положительным направлением оси Ox и вектором, а y – между Ox ¢ и. Тогда j = y + a. Обозначим r =½ OM ½. Тогда

x = r cos j, x ¢= r cos y,

y = r sin j. y ¢= r sin y.

x = r cos (y + a) = r cos y × cos a – r sin y × sin a = x ¢ × cos a – y ¢ × sin a,

y = r sin (y + a) = r cos y × sin a + r sin y × cos a = y ¢ × sin a + y ¢ × cos a.

Итак,

x = x ¢ × cos a – y ¢ × sin a,

y = x ¢ × sin a + y ¢ × cos a.

Поскольку вторая СК может быть получена из первой поворотом на угол – a, то с учетом cos(-a) = cos a, sin(-a) = – sin a, из (18) получаем

x ¢= x × cos a + y × sin a,

y ¢= – x × sin a + y × cos a.

Если в пространстве совер-шается поворот СК вокруг оси Oz, то координата z точки M не изменится, а x и y будут изменяться по тем же формулам (18) и (18¢). Самостоятельно выпишите формулы преобразования координат при повороте СК в пространстве вокруг Ox и Oy.

Важно не путать поворот СК с поворотом плоскости. Пусть точ-ка M ¢(x ¢, y ¢) получается из точки M (x, y) поворотом вокруг начала координат на угол a . Для того, чтобы найти, как выражаются (x ¢, y ¢) через (x, y) мы представим ситуацию так: точка M остается на месте, а СК поворачивается в обратном направлении, т.е. на угол – a . Поэтому имеем формулы

x ¢= x × cos a – y × sin a,

y ¢= y × sin a + y × cos a.

Допустим, теперь на плоскости заданы две совершенно произвольные декартовы СК Oxy и O ¢ x ¢ y ¢. Тогда вторую СК можно получить из первой в результате двух преобразований: сначала мы совершаем перенос начала координат в точку O ¢ (получим промежуточную СК O ¢ x ² y ²), а затем – поворот координатных осей. Тогда

x ²= x – a, x = x ²+ a,

y ²= y – b. y = y ²+ b.

x ¢ = x ² × cos a + y ² × sin a, x ²= x ¢ × cos a – y ¢ × sin a,

y ¢ = – x ² × sin a + y ² × cos a. y ²= y ¢ × sin a + y ¢ × cos a.

Подставляя x ² и y ² из первой системы в третью, получаем, что

x ¢= (x – a) × cos a + (y – b) × sin a,

y ¢= –(x – a) × sin a + (y – b) × cos a.

Упражнение. Самостоятельно выпишите формулы, по которым (x, y) выражаются через (x ¢, y ¢).