Пусть в пространстве задана декартова СК, i, j, k – базисные орты. Пусть (a 1, a 2, a 3), (b 1, b 2, b 3). В соответствии со свойствами скалярного произведения мы можем при скалярном умножении векторов раскрывать скобки, как при умножении чисел. Поэтому
· = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) · (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 1 b 1 i·i + a 1 b 2 i·j + a 1 b 3 i·k +
+ a 2 b 1 j·i + a 2 b 2 j·j + a 2 b 3 j·k + a 3 b 1 k·i + a 3 b 2 k·j + a 3 b 3 k·k.
Нам известно, что i, j, k – единичные и взаимно ортогональные Þ i·i = = j·j = k·k = 1, i·j = i·k = j·k = 0, и это же верно для произведений в другом порядке. Поэтому
· = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. (7)
Þ 2 = · = a 12+ a 22+ a 32 (8)
Þ ½½= = (9)
Þ cosÐ(, ) = =. (10)
Если A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2), то (x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1) Þ
½½=. (11)
Обозначим r(A, B) – расстояние между точками A и B. Тогда r(A, B) вычисляется по той же формуле (11). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:
1. r(A, B) = r(B, A);
2. r(A, B) + r(B, C) ³ r(A, C) (неравенство треугольника);
3. r(A, B) ³ 0, и r(A, B) = 0 Û A = B.
В дальнейшем нам понадобится понятие определителя и его свойства. Этот материал входит в курс высшей алгебры, но изучается, как правило, позже, чем векторное произведение. Поэтому необходимые сведения об определителях 2 и 3 порядка приведены в Приложении к данному курсу лекций. Рекомендуется почитать Приложение, прежде чем продолжить изучение текущего параграфа.
Теорема 5. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой СК: (a 1, a 2, a 3) и (b 1, b 2, b 3), вычисляется по формуле:
(12)
= (a 1 b 2 – a 2 b 1) i – (a 1 b 3 – a 3 b 1) j + (a 2 b 3 – a 3 b 2) k.
Доказательство. Обозначим – это вектор, который вычисляется по этой формуле. Мы докажем, что он удовлетворяет всем условиям в определении векторного произведения.
1. С одной стороны
½½2= (a 2 b 1– a 3 b 1)2 + (a 1 b 3 – a 3 b 1)2 + (a 2 b 3 – a 3 b 2)2 (*),
А с другой стороны
(½½½½sinÐ(, ))2 = ½½2½½2sin2Ð(, ) =½½2½½2(1 – cos2Ð(, )) =
=½½2½½2– ½½2½½2cos2Ð(, ) =½½2½½2– ( · )2 =
= (a 12+ a 22+ a 32) · (b 12+ b 22+ b 32 ) – (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3)2. (**)
Самостоятельно раскройте скобки в (*) и (**), и убедитесь, что эти выражения совпадают.
2. · = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) · ()
так как в определителе есть две одинаковые строки. Значит ^ . Ана-логично доказывается, что ^.
3. Если ½½ , то строки в определителе пропорциональны и наша формула дает нулевой вектор. Пусть и неколлинеарны. Выберем СК таким образом, чтобы Ox , а Oy лежала в одной плоскости с и, причем положительное ее направление указывало в ту же полуплоскость, что и. Ось Oz после этого определяется
однозначно. Тогда (a 1,0, 0), (b 1, b 2, 0), причем, a 1> 0, b 2> 0. Согласно формуле (12) получаем = a 1 b 2 k, причем, a 1 b 2> 0. Значит Oz, и из чертежа видим, что тройка (, , ) – правая.
Итак, вектор, который вычисляется по нашей формуле удовлетворяет всем пунктам в определении векторного произведения.
Следствие 1. ´ = – ´.
Действительно, по свойству определителя, при перестановке двух строк изменяется знак:
 |
Следствие 2. (l )´ = l( ´ ).
Действительно, по свойству определителя, общий множитель элементов одной строки выносится за знак определителя:
 |
Следствие 3. ´( + ) = ´ + ´.
Действительно, по свойствам определителя
 |
Следствие 4. i ´ j = k, k ´ i = j, j ´ k = i.
Докажите это самостоятельно с помощью формулы (12).
Все эти равенства удобно запоминать с помощью диаграммы. Произведение двух ортов взятых подряд по кругу дает третий орт, а в обратном направлении – третий со знаком «–».
