Пусть в пространстве заданы три некомпланарных вектора, , . Назовем их базисными, а тройку B = {, , } – базисом. Пусть O – произвольная точка. Четверку R = { O,, , } назовем аффинным репером в пространстве. Пусть – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O:
= , = ,
= , =.
Проведем прямые l 1 = OA, l 2 = OB, l 3 = OC. Построим параллелепипед так, чтобы три его ребра лежали на этих прямых, а точка D была вершиной. Пусть A 1, B 1, C 1 – вершины параллелепипеда, лежащие на прямых l 1, l 2, l 3, а D 1 – четвертая вершина основания. Пусть
= , = , = , = .
Тогда =, и по правилу треугольника = + . А по правилу параллелограмма = + . Значит, = + + . Но ||, ||, ||, и по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа x 1, x 2, x 3, что = x 1, = x 2, = x 3 Þ
= x 1 + x 2 + x 3 . (5)
Это выражение называется разложением векторапо базису B. Числа x 1, x 2, x 3 называются координатами вектора в этом базисе. Они же называются координатами точки D относительно репера R. Пишем (x 1, x 2, x 3) B, D (x 1, x 2, x 3) R. Репером также называют четверку точек { O, A, B, C }.
Вектор называется радиус-вектором точки D в данном репере. Таким образом, по определению координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Точка O называется началом координат, прямые l 1, l 2, l 3, вместе с выбранными на них направленными отрезками, , , называются координатными осями, а совокупность координатных осей и начала называется аффинной системой координат в пространстве. Иногда репером называют четвёрку точек { O, A, B, C }, не лежащих в одной плоскости.
Если мы выберем другое начало координат, то та же самая точка D будет задаваться другим радиус-вектором Þ ее координаты изменятся. Координаты же вектора не зависят от выбора начала координат. Действительно, пусть имеем еще одно разложение
= y 1 + y 2 + y 3, (5 ')
где, например, y 3 ≠ x 3 . Вычтем (5 ') из (5):
= (x 1 – y 1) + (x 2 – y 2) + (x 3 – y 3), Þ
= +.
Значит, вектор лежит в одной плоскости с векторами и. А мы с самого начала предполагали, что векторы, , некомпланарны. Противоречие. Значит, y 3 = x 3 . Аналогично доказывается, что y 2 = x 2, y 1 = x 1.
Так же, как и на плоскости доказывается, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А для того, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца отнять координаты начала.
Если векторы, , единичные и взаимно ортогональные, то базис B и репер R называются ортонормированными. Если, к тому же, векторы,, образуют правую тройку, то СК называется декартовой. В этом случае приняты обозначения базисных векторов i, j, k ; координат – x, y, z; координатных осей – Ox, Oy, Oz; направленных отрезков на осях – OE 1, OE 2, OE 3.
Векторы i, j, k называются базисными ортами.
Так же, как и на плоскости доказывается, что в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.
Пусть a =Ð( i, ), b =Ð(j, ), g =Ð(j, ). Тогда величины cos a, cos b, cos g называются направляющими косинусами вектора.
Они обладают свойством: cos2a + cos2b + cos2g = 1.
Теорема 1¢. (второй признак коллинеарности векторов).
Для того, чтобы два ненулевых вектора на плоскости или в пространстве были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны ( (a 1, a 2, a 3)½½ (b 1, b 2, b 3) Û = =).
Доказательство. Согласно первому признаку коллинеарности векторов || Û $l: = l Û a 1= l b 1, a 2 = l b 2, a 3 = l b 3 Û Û == = l.
