Координаты вектора и точки в пространстве

Пусть в пространстве заданы три некомпланарных вектора, , . Назовем их базисными, а тройку B = {, , } – базисом. Пусть O – произвольная точка. Четверку R = { O,, , } назовем аффинным репером в пространстве. Пусть – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O:

= , = ,

= , =.

Проведем прямые l ₁ = OA, l ₂ = OB, l ₃ = OC. Построим параллелепипед так, чтобы три его ребра лежали на этих прямых, а точка D была вершиной. Пусть A ₁, B ₁, C ₁ – вершины параллелепипеда, лежащие на прямых l ₁, l ₂, l ₃, а D ₁ – четвертая вершина основания. Пусть

= , = , = , = .

Тогда =, и по правилу треугольника = + . А по правилу параллелограмма = + . Значит, = + + . Но ||, ||, ||, и по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа x ₁, x ₂, x ₃, что = x ₁, = x ₂, = x ₃ Þ

= x ₁ + x ₂ + x ₃ . (5)

Это выражение называется разложением векторапо базису B. Числа x ₁, x ₂, x ₃ называются координатами вектора в этом базисе. Они же называются координатами точки D относительно репера R. Пишем (x ₁, x ₂, x ₃) _B, D (x ₁, x ₂, x ₃) _R. Репером также называют четверку точек { O, A, B, C }.

Вектор называется радиус-вектором точки D в данном репере. Таким образом, по определению координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Точка O называется началом координат, прямые l ₁, l ₂, l ₃, вместе с выбранными на них направленными отрезками, , , называются координатными осями, а совокупность координатных осей и начала называется аффинной системой координат в пространстве. Иногда репером называют четвёрку точек { O, A, B, C }, не лежащих в одной плоскости.

Если мы выберем другое начало координат, то та же самая точка D будет задаваться другим радиус-вектором Þ ее координаты изменятся. Координаты же вектора не зависят от выбора начала координат. Действительно, пусть имеем еще одно разложение

= y ₁ + y ₂ + y ₃, (5 ')

где, например, y ₃ ≠ x ₃ . Вычтем (5 ') из (5):

= (x ₁ – y ₁) + (x ₂ – y ₂) + (x ₃ – y ₃), Þ

= +.

Значит, вектор лежит в одной плоскости с векторами и. А мы с самого начала предполагали, что векторы, , некомпланарны. Противоречие. Значит, y ₃ = x ₃ . Аналогично доказывается, что y ₂ = x ₂, y ₁ = x ₁.

Так же, как и на плоскости доказывается, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А для того, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца отнять координаты начала.

Если векторы, , единичные и взаимно ортогональные, то базис B и репер R называются ортонормированными. Если, к тому же, векторы,, образуют правую тройку, то СК называется декартовой. В этом случае приняты обозначения базисных векторов i, j, k ; координат – x, y, z; координатных осей – Ox, Oy, Oz; направленных отрезков на осях – OE ₁, OE ₂, OE ₃.

Векторы i, j, k называются базисными ортами.

Так же, как и на плоскости доказывается, что в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.

Пусть a =Ð( i, ), b =Ð(j, ), g =Ð(j, ). Тогда величины cos a, cos b, cos g называются направляющими косинусами вектора.

Они обладают свойством: cos²a + cos²b + cos²g = 1.

Теорема 1¢. (второй признак коллинеарности векторов).

Для того, чтобы два ненулевых вектора на плоскости или в пространстве были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны ( (a ₁, a ₂, a ₃)½½ (b ₁, b ₂, b ₃) Û = =).

Доказательство. Согласно первому признаку коллинеарности векторов || Û $l: = l Û a ₁= l b ₁, a ₂ = l b ₂, a ₃ = l b ₃ Û Û == = l.