М-д непосредственного интегрирования.
Пример: 
М-д замены переменной.
Теорема: если F(x)-первообр. f(x), 
-дифференц. ф-я. Тогда 
также имеет первообр. Причем
Док-во: По правилам диф. сложной ф-и 
дает 
, т.е. 
-одна из первообр. для 
. След-но 
.
Поскольку 
совпадает с 
, тогда 
Пример: 
М-д интегрирования по частям основан на след. форме:
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических ф-ий.
Вычисл интеграла вида 
, 
, 
, 
сводится к вычислению интегралов от рац. ф-ий, роль переменной играет t. если R(sin x cos x) явл. нечетной относительно sin x, то вводят замену cos x= t. Если R(sin x cos x) явл. нечетной относ-но cos x, то вводят замену sin x= t. Если ф-я R (sin x cos x)явл. нечетной относ-но sin x и cos x, то вводят замену tg x=t.
Интегрирование иррац. ф-и
Интегралы типа
вычисляются путем полного квадрата под радикалом и дальнейшей заменой 
Тригонометрическая подстановка
Интегралы вида
с помощью замен сводятся к интегралам от рац. ф-ий.
Вопрос №31. Определенные интегралы.
Опред. интеграл и его приложения.
О. Определенным интегралом от ф-и 
на 
наз конечный предел её интегральной суммы, когда число элемент. отрезков неограниченно возрастает, а длина наиб. из них стремится к нулю. Обозначается: 
Число a наз нижним пределом интегрирования, b - верхним пределом интегрирования, f(x)- подинтегр ф-ей, х-переменной интегрирования.
По определению
(1)
след-но велич опред интегр не зависит от переменной интегрир, т.е.
Ф-я, для к-рой существует предел (1) наз интегрированием на 
.
Геом. смысл определенного интеграла состоит в том, что 
=S криволин. трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и 
(f(x)≥0), снизу осью Ох, слева и справа- прямыми х=а и х=в.
Св-ва опред. интеграла:
при перестановке пределов интегрирования, знак определенного интеграла меняется на противоположный
если 
и 
интегрируемы на 
ф-и, тогда 
± 
также интегрируемы. Причем
св-во аддитивности. Пусть 
разбит на 
элементарных отрезков след. образом 
, тогда 
постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
если 
интегрируема на 
(a<b), причем f(x)≥0, тогда 
пусть ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на 
(a<b) и на всем отрезке f(x) ≤ g(x). Тогда 
пусть ф-я f(x) интегрируема на 
(a<b), тогда 
также интегрируема на 
, причем 
Теорема. (об оценке опред. интеграла). Если ф-я 
интегрируема на 
(a<b) и для всех 
вып-тся нерав-во 
, тогда
Теорема. (о среднем значении) Если ф-я 
непрерывна на , то на этом отрезке существует точка с, такая что 
Опред. интеграл с переменным верхним пределом(ОИПВП).
Рассм. ф-ю 
, интегрируемую на . Пусть 
, тогда 
интегрируема на любом отрезке 
.Предпол, что х меняется на этом отрезке, тогда определена ф-я Ф(х)= 
. Данную ф-ю наз ОИПВП. ОИПВП явл. непрерывной на ф-ейесли 
явл. непрерывной, то производная с ОИПВП= значению подинтегральной ф-и для данного предела интегрирования, т.е. 
ОИПВП явл. одной из первообр. для непр. подинтегральной ф-и.
Теор.(ф-ла Ньютона-Лейбница). Пусть ф-я 
непрер на , тогда если ф-я F(x) явл. некот её первообр. на 
, то справедлива след. ф-ла
Основные методы интегрирования:
Т. (о замене переменной в определенном интеграле). Пусть 
-непрерывна на ф-я, тогда если: 1)ф. 
дифференцируема на 
и 
–непрерывна на 
. 2)множ-вом значений ф-и 
явл. 
. 3) 
, 
. тогда справедлива ф-ла:
По ф-ле Ньютона-Лейбница, где 
- нек-рая первообразная 
на .
Т. (об интегрировании по частям) Если ф-и 
и 
непрерывны вместе со своими производными 
и 
на 
, то справедлива след. ф-ла:
Приложение определенного интеграла.
