Произведение матрицы А на число a наз матрицей 2А, эл-ты кот равны произведению числа a на соотв. элемент матрицы А.
Умножение матриц.
Произведение матриц размерности 
´ 
и матрицы В размерности 
наз матрица С размерности 
, элементы кот 
вычисл как сумма произведений соотв-щих элементов 
-строки матрицы А на 
-столбца матрицы В.
Квадратная матрица порядка 
наз единичной. Обозначается 
это матрица с единицами на главной диагонали.
Св-ва умножения:
умножение не коммутативно, т.е. А*В¹В*А
умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют.
если А матрицы размерности 
´ 
, В размерности 
, то 
Транспонирование матрицы.
Если в матрице А размерности 
´ 
все стороки заменить соотв-щими столбцами, то получим матрицу 
размерности 
´ 
, к-рую наз транспонированной матрицей А.
Св-ва транспонирования:
Элементарные преобразования строк матрицы:
умножение строк матрицы на ненулевое действит число; прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на некот число.
Лемма: с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.
Ступенчатая матрица -матрица, обладающая след. св-ми:
если 
тая строка нулевая то 
также нулевая.
если первые ненулевые элементы 
той строки и 
находятся соотв-но в столбцах с номерами 
и 
. Тогда 
< 
Теорема. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с пом элементарных преобразований строк матрицы.
Ранг матрицы - число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.
Вопрос №19.Понятие непрерывности ф-и.
Ф. 
, определенная на 
наз непрерывной в точке 
если 
Т. Ф. непрерывна в точке только тогда, когда 
Т. Если ф. 
и 
непрерывны в точке 
, то непрерывна в этой точке их сумма, разность, произведение, а также частное при усл. 
О. Ф. наз непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
1-ая теорема Бальцама - Коши: Пусть ф. непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значение разных знаков, тогда сущ-ет точка 
такая, что 
Т. Пусть ф. непрерывна на отрезке причем 
. Пусть 
–число, заключенное между А и В, тогда сущ-ет точка такая, что 
1-ая теорема Вейерштрасса: Если ф. определена и непрерывна на 
, то она ограничена на этом отрезке.
2-ая теорема Вейерштрасса: Если непрерывна на , то она достигает на этом отрезке своего наиб. и наим. значения.
Вопрос №8.Определители, их свойства.
Определителем 2-го порядка наз число, вычисляемое по ф-ле 
Определителем -го порядка, соотв-щим квадратной матрице 
-го порядка, наз число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.
Минором 
наз определитель, полученный из данного путем вычеркивания 
той строки и 
–того столбца. Алгебраическим даполнением 
наз-ют число равное 
.
Т. Определитель -го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.
Св-ва определителя:
Определитель треуг матрицы равен произвед элементов главной диаг
Опред. матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю
При транспонировании матрицы, определитель не меняется.
Если матрица А получается из матрицы В умножением каждого элемента некот строки(столбца) на число 
, то определитель равен 
Если матрица В получается из матрицы А перестановкой строк(столбцов), то определитель меняет знак.
Определитель матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0.
Определитель матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на некот действит число.
Определитель произведения равен произведению определителей.
, где А и В- квадратные матрицы одног7о порядка.
Обратная матрица.
Квадратная матрица А порядка наз обратимой, если сущ-ет такая матрица В, что 
. В этом случае В-обратная для матрицы А и обозначают А-1.
Т. Справедливы след. утверждения:
если матрица обратима, то сущ-ет только одна ей обратная матрица.
определитель обратимой матрицы отличен от 0.
если А и В- обратимые матрицы порядка 
, то АВ- также обратима. Причем обратная для произведения равна В-1А-1. (АВ)-1= В-1А-1
Т. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0. Если 
отличен от 0, то А-1= 
Вопрос №9.Системы линейных уравнений.
Совокупность ур-ний вида
(1) - с-ма 
–линейных ур-ний с 
–неизвестным 
Числа 
наз коэф-ми с-мы. Числа 
- свободными коэфф-ми.
Решением с-мы (1) наз совокупность чисел 
при подстановке к-рых в с-му (1) вместо 
получаем верные числовые рав-ва.
Решить с-му, значит найти все ее решения, либо доказать, что их нет.С-ма наз совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной- если решений нет. Матрица составлена из коэф-тов
наз матрицей с-мы (1).
Если к данной матрице добавить столбец свободных коэф-тов, такую матрицу наз-ют расширенной матрицей с-мы
Критерий совместимости с-мы.
Т. Кронекера-Копелли: Для того, чтобы с-ма линейных ур-ний была совместна необх и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом матрицы с-мы.
Метод Гаусса: применяется для произвольной с-мы линейных ур-ний.
С-му будем наз-ть ступенчатой, если матрица имеет ступенчатый вид. При решении с-м линейных ур-ний нам понадобится след алгоритм:
Запишем расшир. матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.
если ранги не равны, то с-ма несовместна
если ранги равны и равны числу 
, то с-ма совместна и остается записать ее решение используя ступенчатый вид расширенной матрицы запишем соотв. ступенчатую с-му.
если 
= 
, совпад с числом неизвестных, то с-ма имеет единствен реш.
Двигаясь снизу вверх выражаем каждую из неизвестных.
если 
< 
, то в с-ме 
ур-ний и неизвестных. Неизвестные, к-рые первыми встречаются в ступенчатой с-ме ( -неизвестных) назовем главными неизвестными, а остальные –свободными неизвестными. Снизу вверх выражаем каждую из главных неизвестных свободные неизвестные могут принимать любые значения, в этом случае с-ма имеет бесконечно много решений.
Правила Крамера:
С-ма линейных ур-ний наз крамеровской, если число ур-ний совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы с-мы отличен от 0.
Т. Крамеровская с-ма имеет единственное решение, к-рое находится по ф-лам
, где D-определитель матрицы с-мы, а 
- определитель, полученный из D подстановкой вместо 
того столбца столбец свободных коэф-тов.
