Умножение матриц на число

Произведение матрицы А на число a наз матрицей 2А, эл-ты кот равны произведению числа a на соотв. элемент матрицы А.

Умножение матриц.

Произведение матриц размерности ´ и матрицы В размерности наз матрица С размерности , элементы кот вычисл как сумма произведений соотв-щих элементов -строки матрицы А на -столбца матрицы В.

Квадратная матрица порядка наз единичной. Обозначается это матрица с единицами на главной диагонали.

Св-ва умножения:

умножение не коммутативно, т.е. А*В¹В*А

умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют.

если А матрицы размерности ´ , В размерности , то

Транспонирование матрицы.

Если в матрице А размерности ´ все стороки заменить соотв-щими столбцами, то получим матрицу размерности ´ , к-рую наз транспонированной матрицей А.

Св-ва транспонирования:

Элементарные преобразования строк матрицы:

умножение строк матрицы на ненулевое действит число; прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на некот число.

Лемма: с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.

Ступенчатая матрица -матрица, обладающая след. св-ми:

если тая строка нулевая то также нулевая.

если первые ненулевые элементы той строки и находятся соотв-но в столбцах с номерами и . Тогда <

Теорема. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с пом элементарных преобразований строк матрицы.

Ранг матрицы - число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

 

 

Вопрос №19.Понятие непрерывности ф-и.

Ф. , определенная на наз непрерывной в точке если

Т. Ф. непрерывна в точке только тогда, когда

Т. Если ф. и непрерывны в точке , то непрерывна в этой точке их сумма, разность, произведение, а также частное при усл.

О. Ф. наз непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

1-ая теорема Бальцама - Коши: Пусть ф. непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значение разных знаков, тогда сущ-ет точка такая, что

Т. Пусть ф. непрерывна на отрезке причем . Пусть –число, заключенное между А и В, тогда сущ-ет точка такая, что

1-ая теорема Вейерштрасса: Если ф. определена и непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке.

2-ая теорема Вейерштрасса: Если непрерывна на , то она достигает на этом отрезке своего наиб. и наим. значения.

Вопрос №8.Определители, их свойства.

Определителем 2-го порядка наз число, вычисляемое по ф-ле

Определителем -го порядка, соотв-щим квадратной матрице -го порядка, наз число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.

Минором наз определитель, полученный из данного путем вычеркивания той строки и –того столбца. Алгебраическим даполнением наз-ют число равное .

Т. Определитель -го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.

Св-ва определителя:

Определитель треуг матрицы равен произвед элементов главной диаг

Опред. матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю

При транспонировании матрицы, определитель не меняется.

Если матрица А получается из матрицы В умножением каждого элемента некот строки(столбца) на число , то определитель равен

Если матрица В получается из матрицы А перестановкой строк(столбцов), то определитель меняет знак.

Определитель матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0.

Определитель матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на некот действит число.

Определитель произведения равен произведению определителей.

, где А и В- квадратные матрицы одног7о порядка.

 

Обратная матрица.

Квадратная матрица А порядка наз обратимой, если сущ-ет такая матрица В, что . В этом случае В-обратная для матрицы А и обозначают А^-1.

Т. Справедливы след. утверждения:

если матрица обратима, то сущ-ет только одна ей обратная матрица.

определитель обратимой матрицы отличен от 0.

если А и В- обратимые матрицы порядка , то АВ- также обратима. Причем обратная для произведения равна В^-1А^-1. (АВ)^-1= В^-1А^-1

Т. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0. Если отличен от 0, то А^-1=

 

Вопрос №9.Системы линейных уравнений.

Совокупность ур-ний вида

(1) - с-ма –линейных ур-ний с –неизвестным

Числа наз коэф-ми с-мы. Числа - свободными коэфф-ми.

Решением с-мы (1) наз совокупность чисел при подстановке к-рых в с-му (1) вместо получаем верные числовые рав-ва.

Решить с-му, значит найти все ее решения, либо доказать, что их нет.С-ма наз совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной- если решений нет. Матрица составлена из коэф-тов

наз матрицей с-мы (1).

Если к данной матрице добавить столбец свободных коэф-тов, такую матрицу наз-ют расширенной матрицей с-мы

 

Критерий совместимости с-мы.

Т. Кронекера-Копелли: Для того, чтобы с-ма линейных ур-ний была совместна необх и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом матрицы с-мы.

Метод Гаусса: применяется для произвольной с-мы линейных ур-ний.

С-му будем наз-ть ступенчатой, если матрица имеет ступенчатый вид. При решении с-м линейных ур-ний нам понадобится след алгоритм:

Запишем расшир. матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

если ранги не равны, то с-ма несовместна

если ранги равны и равны числу , то с-ма совместна и остается записать ее решение используя ступенчатый вид расширенной матрицы запишем соотв. ступенчатую с-му.

если = , совпад с числом неизвестных, то с-ма имеет единствен реш.

 

Двигаясь снизу вверх выражаем каждую из неизвестных.

если < , то в с-ме ур-ний и неизвестных. Неизвестные, к-рые первыми встречаются в ступенчатой с-ме ( -неизвестных) назовем главными неизвестными, а остальные –свободными неизвестными. Снизу вверх выражаем каждую из главных неизвестных свободные неизвестные могут принимать любые значения, в этом случае с-ма имеет бесконечно много решений.

Правила Крамера:

С-ма линейных ур-ний наз крамеровской, если число ур-ний совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы с-мы отличен от 0.

Т. Крамеровская с-ма имеет единственное решение, к-рое находится по ф-лам

, где D-определитель матрицы с-мы, а - определитель, полученный из D подстановкой вместо того столбца столбец свободных коэф-тов.