Скалярное произведение векторов

О. Скалярное произведение двух векторов и – число, равное произведению их модулей на угла между ними.

Св-ва:

тогда и только тогда, когда

угла между векторами вычисляется по ф-ле:

Т. Если векторы имеют координаты ; , тогда

Правые и левые с-мы координат.

Три некомпланарных вектора в указанном порядке наз-ют тройкой векторов.

Пусть отложены из одной точки, будем смотреть из конца вектора на плоскость, содержащую и . Если кратчайший поворот от к осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов наз правой тройкой, если по часовой-то левой.

Векторное произведение векторов.

О. Векторным произведением на наз , к-рый удовлетворяет след. условиям:

каждому из векторов и

тройка векторов

Св-ва:

и -коллинеарны только тогда, когда =0

площадь параллелограмма, построенного на векторах и = модулю векторного произведения

Т. Пусть , , тогда

Разложим и по базисным векторам

=

 

x	i	j	k
i
j
k

 

Смешанное произведение

Пусть даны 3 вектора . Умножим векторно, а полученный р-т скалярно на . В р-те получим число , называемое смешанным произведением векторов .

Смешанное произведение 3-х некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если тройка правая и со знаком «-«- если правая.

Следствие. компланарны только тогда, когда их смешанное произведение =0.

Т. Пусть , , , тогда

Вопрос №12. Плоскость в пространстве.

Ур-ние плоскости по точке и норм. вектору.

Пусть дана точка и плоскости. Пусть -произвольная точка плоскости. Рассм. вектор

(1) Þ (2)

(1)-ур-ние по точке и нормальному вектору, (2)- общее ур-ние плоскости.

Частные случаи:1)если , то плоскость проходит через начало координат

2)если , тогда оси . След-но плоскость параллельна оси

3) плоскость проходит через ось

4) плоскость параллельна плоскости

5) плоскость определяет координатную плоскость

Ур-ние плоскости, проходящей через 3 данные то чки

Рассм. 3 точки, не лежащие на одной прямой , , . Рассм. произвольную точку , лежащую в этой плоскости. Рассм. .

, ,

т.к. компланарны, то их смешанное произведение =0, т.е. - ур-ние плоскости по 3 точкам.

Взаимное расположение двух плоскостей.

Пусть даны 2 плоскости 1-ая плоскость имеет , . Если плоскости параллельны, то и коллинеарны. Поэтому – условие параллельности плоскостей. – условие совпадения плоскостей. Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности ^ плоскостей равносильна ^ их нормальных векторов.

- условие перпендикулярности.