Линейная зависимость и независимость векторов

Конечная с-ма векторов простр-ва V наз линейно зависимой, если найдутся такие числа , из кот-х хотя бы одно ≠0, такие что (совп с нейтральным эл-том).

В противном случае с-му наз линейно независимой.

Лемма. Система векторов простр-ва V явл-ся линейно зависимой, если один из векторов линейно выражается через остальные.

Выр-е вида наз линейной комбинацией векторов

Сис-ма векторов наз базисом пространства V, если:

1) с-ма векторов линейно независима

2)любой вектор пр-ва V линейно выр-ся через

Число n называется размерностью простр-ва V, если в этом пространстве сущ-ет n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторы линейно зависимы.

Т. В простр-ве V разм-ти n любая с-ма, состоящая из n линейно независимых векторов, образует базис.

Если - базис простр-ва V, то называют разложением вектора x по векторам базиса. В этом случае наз координатами вектора x в базисе

 

 

Вопрос №17. Функция. Предел ф-и.

Ф-я. Рассм. множ-во элементов и множ-во элементов . Если каждому элементу из поставлен в соотв-е единственный элемент из обозначаем , то говорят: на множ-ве задана ф-я со значениями в множ-ве . Элементы значение аргумента; -значение ф-и; множ-во –область определения; множ-во всех значений ф-и – областью значений ф-и.

К основным способам задания ф-и относят:

1. Аналитический. Ф-я, заданная ф-лой , правая часть к-рой не содержит наз явной ф-ей. Ф-я наз заданной не явно.

2. Табличный способ- способ задания ф-ии при помощи таблицы (Н.:логарифмич. таблицы, тригонометрические и т.д.)

3. Графический-при помощи графика. Графиком ф-и наз множ-во точек плоскости с координатами плоскости , где .

сложная ф-я или композиция.

Степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические наз основными элементарными ф-ями. Элементарными наз ф-ии, к-рые можно получить из основных элементарных с помощью алгебраических действий и композиций.

Предел ф-и.

О. Число А наз пределом ф-и , при (или в точке ). Если для любого числа >0, сущ-ет такое число d>0, что при всех , удовлетворяющих условию 0< <d вып-тся нер-во <e.

Для 0< <d (1) Þ <e.

Обозначается

Геометрический смысл определения. Нер-во (1) означает, что расположено от на расстоянии не более d, т.е. за исключением самой точки . Нер-во (2) означает, что значение ф-и не выходит из интервала или . След-но точки графика ф-и должны находится в полосе шириной 2e, если

Односторонние пределы.

О. Число А наз правым(левым) пределом ф-и в точке , если для "e>0 сущ-ет d>0, такое,что для всех , удовлетворяющих рав-ву < < +d ( -d< < ); <e.

"e>0 $d>0: " < < +d ( -d< < )Þ <e.

Связь между односторонними пределами.

Ф-я имеет в предел только тогда, когда в этой точке сущ-ет как левый так и правый предел и они равны. В этом случае предел ф-и равен одностороннему пределу.

Пределы ф-и при стремлении аргумента к бесконечности.

О. Пределом ф-и при наз число А такое, что для "e>0 $d>0: " >dÞ <e. Обозначают .

О. Число наз пределом ф-и при ®+¥ ( ®-¥) если для "e>0 $d>0: " >d( <-d)Þ ().