Линейные ОДУII с постоянными коэффициентами

Линейное ОДУII с постоянными коэффициентами имеет вид:

(1), где , а f(x) – некоторая функция.

 

Если f(x) = 0, то уравнение (2) называется однородным.

В противном случае (т.е. уравнение (1)) – неоднородным.

Можно доказать, что существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям .

 

Рассмотрим сначала решение однородного уравнения (2).

Метод решения этого уравнения состоит в следующем: по виду уравнения (2) составляется характеристическое уравнение (3).

Описание решений уравнения (2) зависит от того, имеет ли уравнение (3) два действительных корня, один действительный корень или не имеет действительных корней.

Теорема:

1) Пусть характеристическое уравнение (3) имеет два различных действительных корня k₁ и k₂ (т.е. D>0). Тогда общее решение уравнения (2) имеет вид:

.

2) Если уравнение (3) имеет один действительный корень k (кратности 2) (D=0), то общее решение уравнения (2): .

3) Если уравнение (3) не имеет действительных корней (D<0), то общее решение уравнения (2): ,

где , .

4. Решить краевую задачу для уравнения второго порядка

, , .

Решение. Решив данную задачу мы получим частное решение линейного ОДУII с постоянными коэффициентами при указанных начальных условиях.

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, необходимо сначала найти его общее решение.

Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение .

Данное характеристическое уравнение имеет 1 действительный корень k = 1. Поэтому общее решение уравнения имеет вид: у = С ₁ е^х + С ₂ хе^х (формула (3.5)).

Теперь найдем такие значения постоянных С ₁ и С ₂, при которых выполняются заданные начальные условия. Т.к. у (0) = С ₁, а у (1) = С ₁ е + С ₂ е, то постоянные находим, решая систему

.

Т.о. частное решение уравнения у = 3 е^х – 3 хе^х.

Ответ: Решение данной краевой задачи имеет вид: у = 3 е^х – 3 хе^х.

Перейдем к решению линейного неоднородного уравнения (1).

 

Рассмотрим два метода решения этого уравнения:

1) метод вариации произвольных постоянных.

Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения (2). Затем решение уравнения (1) ищут в виде , т.е. С₁, С₂ – функции независимой переменной х. Их находят из системы:

2) метод подбора частного решения:

Теорема: Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (2) у* и некоторого частного решения уравнения (1) : .

Одним из способов нахождения является подбор по виду правой части f(x). Приведем в виде таблицы наиболее часто встречающиеся виды правых частей и соответствующие им виды частных решений.

№	Вид правой части f(x)	Корни уравнения (3)	Вид
	a	0 – не корень 0 – корень	A Ax
	aх + b	0 – не корень 0 – корень	Ax + B x(Ax + B)
	aх2 + bx + c	0 – не корень 0 – корень	Aх2 + Bx + C x(Aх2 + Bx + C)
	aemx	m – не корень m–однократный корень m–двукратный корень	Aemx Axemx Ax2emx
	(aх + b)emx	m – не корень m–однократный корень m–двукратный корень	(Ах + В)emx х(Ах + В)emx х2(Ах + В)emx
	a∙ cos nx + b∙ sin nx	in – не корни in – корни	A∙ cos mx + B∙ sin mx x(A∙ cos nx + B∙ sin \nx)

 

В таблице А, В, С – неизвестные коэффициенты, которые находят путем подстановки частного решения в исходное дифференциальное уравнение (1) и приравнивания коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства.

Если правая часть f(x) имеет вид суммы или произведения функций типов 1-6, то частное решение также следует подбирать в виде соответствующей суммы или произведения.

 

 

Пример. .

Это уравнение является линейным неоднородным ОДУII с постоянными коэффициентами.

Чтобы его решить нужно:

1) Найти общее решение соответствующего однородного уравнения .

Для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , k ₁ = 2, k ₂ = 3. Т.к. мы получили 2 различных действительных корня (это случай 1), то по формуле (3.4) общее решение однородного уравнения имеет вид у* = С ₁ е ^{2 х} + С ₂ е ^{3 х} .

2) Подобрать частное решение неоднородного уравнения.

Правая часть f(x)= е^х. Это случай 4 из таблицы 2. И поскольку m = 1 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение должно иметь вид = Ae^x (1-ая строка пункта 4 таблицы 2). Найдем первую и вторую производные частного решения: ’= Ae^x; ”= Ae^x. Подставляя , ’, ” в исходное уравнение, получаем:

. Т.о. частное решение уравнения = e^x.

Т.к. , то общее решение имеет вид у = С ₁ е ^{2 х} + С ₂ е ^{3 х} + e^x.

Ответ: Общее решение уравнения имеет вид

у = С ₁ е ^{2 х} + С ₂ е ^{3 х} + e^x.