.: I , : f1(x)dx = f2(y)dy.
:
) ;
) 1()2()dx + Q1(x)Q2(y)dy = 0.
1. ) ( ¹0).
: I ( ). f1(x)dx = f2(y)dy.
, .
dx : .
: => . , : ,
= ( ≠0).
: = ( ≠0).
) .
: I ( ). , :
; .
:
.
.
: .
) : , (1) = 2 ( ¹0).
(, , ).
: . : = (. 1).
, , : 2 = ×1 => = 2.
.. : = 2 .
: = 2 .
I
.: I y = f(x, y) , f(, ) : f(kx, ky) = f(x, y), k .
.. : . . (, = x∙u, y = u + xu = u + x∙ .)
2. .
. 1 , .. f(kx, ky) = = f(x, y).
, y = u + x∙ . :
u + x∙ = u 1.
, :
x∙ = 1 => du =∙ => u =∙ ln .
∙u = , : =∙ ln .
: =∙ ln .
I
.: I , :
+ p(x)y = q(x) (1),
p(x), q(x) - .
= u∙v (2),
u(x)
u + p(x) ∙u = 0 (3), v() .
(2) (1) :
u∙v + v∙u + p(x) ∙u∙v = q(x) Þ (u + p(x) ∙u)∙v + v∙u = q(x), (3), , v(x) :
|
|
v∙u = q(x) (4 ).
(3) (4) , u(x), v(x), u(x) ≠ 0.
(2).
3. .
. 1, p(x) = , q(x) = .
= uv. , u, (3) : .
=> => =>
( , = 0).
u (4) .
: => dv = dx => => v = x + C.
.. = uv = ( + ).
: = ( + ).
.3. II
II : F(x, y, y,y) = 0.
, : y = f(x, y, y).
.: y = f(x, y, y), : ( ), .
.: II = φ(, 1, 2), 1, 2 :
1) 1, 2;
2) 1 = 1 0, 2 = 2 0 , = φ(, 1 0, 2 0) .
-.
, , [a, b]. 1 0, 2 0 : , .. II : [a, b] II, , .
F(x, y, y,y) = 0, . II.