В.7. Непрерывность функции

Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) она определена в точке х₀,, т.е. существует f(х₀);

2) она имеет конечный предел функции при х ® х₀ ();

3) этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Пример 6. А) Функция в точке х = 0 не является непрерывной (нарушено 1-е условие).

Б) Функция, заданная выражением: в точке х = 0 не является непрерывной из-за отсутствия предела при х ® 0, хотя существуют пределы слева и справа (нарушено 2-е условие).

В) - не является непрерывной, т.к. нарушено 3-е условие.

Г) Функция y = x² является непрерывной в точке х = 0.

 

y   1_ x 1_

Непрерывность функции f (x) в точке х₀ можно записать и так:

т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Другое определение непрерывности: функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Оба определения равносильны.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f (x), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Существует две разновидности точек разрыва.

Точка разрыва 1-го рода: существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х ® х₀, не равные друг другу.

В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .

Точка разрыва 2-го рода: хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .

Свойства функций непрерывных в точке:

1. Если функции f (x) и j (х) непрерывны в точке х₀, то их сумма f (x) + j (х), произведение f (x) × j (х) и частные (j (х) ¹ 0) являются функциями, непрерывными в точке х_{0 .}

2. Если функция y = f (x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀) > 0, то существует такая окрестность точки x₀, в которой и f(x) > 0.

3. Если функция y = f (u) непрерывна в точке u₀ и f(x₀) > 0, а функция u = j (х) непрерывна в точке х₀, то сложная функция y = f [ j (х)] непрерывна в точке х₀ .

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.

3. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка x Î (a, b) такая, что f (x)=0.

В.8. Вычисление пределов

При вычислении пределов используют то, что предел постоянной равен самой постоянной, а также основные теоремы о пределах. Рассмотрим вычисление пределов на примерах.

Приме7.

Применяя теоремы о пределах, получаем:

Пример 8.

Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, получаем:

 

Пример 9.

Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю. В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины х²- 2 х+ 1, отличной от нуля на бесконечно большую величину при х ® 3 как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому

Пример 10.

Здесь также нельзя непосредственно применять теорему о пределе частного, т.к. пределы знаменателя и числителя равны нулю и мы имеем неопределенность вида . В подобных случаях, когда и в числителе и в знаменателе – многочлены, их необходимо разложить на множители, после этого дробь сократить и перейти к пределу:

Пример 11.

Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности вида необходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, а иногда и то и другое, полученную дробь сократить и перейти к пределу:

 

Пример 12.

При х ® 0 переменная х есть бесконечно малая величина, а ï ï£ 1 при любых значениях х ¹0. Следовательно, величина - произведение бесконечно малой на ограниченную величину – также будет бесконечно малой величиной, поэтому ее предел равен 0.

 

Пример 13.

Теорему о переделе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель конечного предела не имеют. Имеем неопределенность . В подобных случаях для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу:

 

Неопределенность вида ¥ – ¥ раскрывается путем преобразования и сведения их к неопределенности или .

Пример 14.

 

Пример 15.

Здесь следует рассмотреть два случая:

а)

б)

Если при х ® а (х ® ¥) f (x) ® 1, а j (х) ® ¥, то говорят, что имеем неопределенность вида 1^¥. Для раскрытия этой неопределенности используется второй замечательный предел.

Пример 16. Найти .

Решение. Выделим у дроби целую часть:

.

Чтобы использовать второй замечательный предел (или ), обозначим . Тогда при х →∞ у →0, причем . Т.о. = .

Ответ: .