Дифференциалы высших порядков

Для дифференцируемой функции y = f(x) . Если дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х, то - некоторая функция от х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом n – го порядка (n – ым дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала (n–1)–го порядка данной функции:

Дифференциал n – го порядка равен произведению производной n – го порядка на n – ю степень дифференциала независимой переменной.

. (где )

=> . В отличие от дифференциала первого порядка дифференциалы более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Тема 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (НИ)

1. Первообразная и неопределённый интеграл

Определение1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в любой точке х Î Х: (F(x))’ = f(x).

Например, F(x)= - первообразная для функции f(x)=х⁴.

(Т.к. (F(x))’ = f(x).)

Геометрический смысл: Найти первообразную для функции f(x) означает найти такую кривую у = F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) в этой точке. (((F(x))’= tga = f(x)).

Первообразная функции определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x) на промежутке Х, то существует такое число СÎ R, что F₂(x) = F₁(x) + С.

(Т.е все первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга лишь на некоторую постоянную.)

Определение 2. Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается ,

где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная (С = const), - знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.

Теорема существования НИ. Любая непрерывная на некотором промежутке Х функция f(x) имеет первообразную на этом промежутке.

2. Основные свойства НИ:

1. Производная от НИ равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению:

2. НИ от дифференциала некоторой функции равен этой же функции с точностью до некоторой постоянной: .

В частности, .

Замечание: Объединяя свойства 1 и 2, можно сделать вывод о том, что операции интегрирования и дифференцирования функции – это взаимообратные операции.

3. НИ от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме интегралов НИ от этих функций

4. Константу можно выносить за знак НИ:

, где с = const.

5. Свойство инвариантности формы НИ (т.е. независимости вида НИ от выбора аргумента):

В частности,

Таблица НИ

Используя определение НИ и таблицу производных можно записать таблицу НИ.

Таблица 1 (неопределенных интегралов)

n ≠ –1; 4.

; 5.

; 6.

; 7.

; 8.

;

; 10.

11.

; 12.

(| x |< a, a ≠0); 13.

(a ≠0); 14.

(| x |≠ a, a ≠0); 15.

Методы интегрирования

Метод разложения

Метод разложения заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 3 и 4. Применяется, если интегралы от слагаемых табличные или известен метод их вычисления.

Пример 1.

= = =(св-во 3) =

= = (св-во 4) = = (используем формулы 3 и 4 из таблицы 1 н.и.)= =

= .

Ответ: = .

Метод замены переменной

Формула замены переменной: ,

где х = j(t) – дифференцируемая функция на промежутке Х.

Пример 2. .

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной (линейная замена). Обозначим выражение в скобках через t: 3 х – 1 = t, тогда d (3 х – 1)= dt => 3 dх = dt => .