Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции.
По свойству дифференциала 
или 
.
Интегрируя обе части равенства, получим:
- формула интегрирования по частям.
Метод заключается в следующем: подынтегральное выражение разбивается на 2 множителя u и dv. Далее, при переходе к правой части формулы, первый множитель дифференцируется, а второй – интегрируется: 
, 
.
Этот метод применяется для двух групп интегралов:
I. 
; 
; 
(где m =const). В этой группе в качестве u выбирают х, а остальная часть подынтегрального выражения принимается за dv (u = x).
II. 
; 
; 
; 
; 
(где m =const). В этой группе xdx = dv.
Пример 4. 
.
В нашем случае интеграл относится к I-ой группе интегралов, поэтому в качестве u возьмем 5 х – 2: u = 5 х – 2, dv = e 3 x ∙ dx.
= 
=
(по формуле интегрирования по частям) = 
=
= 
.
Ответ: = .
Тема 4. Определённый интеграл
В.1 Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция 
непрерывна не отрезке 
и 
любая первообразная функция на этом отрезке. Тогда определенный интеграл от функции 
на отрезке равен приращению первообразной на данном отрезке.
- приращение первообразной на данном отрезке
То есть нахождение определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:
1. Используя технику нахождения неопределенного интеграла находим первообразную подынтегральной функции.
2. Вычисляем приращение первообразной на заданном отрезке.
Пример 1: 
В.2. Замена переменной и интегрирование по частям
В определенном интеграле.
Метод замены переменной для определенного интеграла.
Пусть функция 
имеет непрерывную производную на отрезке 
, а также 
и функция непрерывна в любой точке 
, где 
.
Тогда формула для замены переменной выглядит следующим образом:
Замечание: в случае определенного интеграла нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования.
Пример 2: Вычислить 
Метод интегрирования по частям для определенного интеграла
Пусть функция 
имеет непрерывную производную на отрезке , тогда формула интегрирования по частям:
где 
- приращение: 
Тема 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
В. 1. Основные понятия
Опр.: ОДУ называется уравнение вида: F(x, y, y’, y’’, …, y(n)) = 0, которое связывает искомую функцию одной переменной у = у(х), эту переменную и производные различных порядков искомой функции.
Наивысший порядок производной, входящей в запись уравнения, называется порядком уравнения.
ОДУ n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид: у(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1)).
Общим решением ОДУ n-го порядка называется функция у = φ(х, С1, С2, …, Сn) (где Ci – произвольные постоянные), которая обращает данное уравнение в тождество при подстановке в него этой функции и ее производных. Количество постоянных в решении совпадает с порядком уравнения.
Если общее решение уравнения будет получено в виде: Ф(х, у,С1,С2, …,Сn) = 0, то говорят, решение получено в виде общего интеграла уравнения.
Частные решения уравнения получаются из общего при конкретных значениях постоянных.
В.2. ОДУI
ОДУI в общем случае имеет вид: F(x, y, y’) = 0.
Разрешенное относительно производной: y’ = f(x, y)
или Р(х, у)dx + Q(x, y)dy = 0.
Опр.: Задача нахождения решения уравнения y’ = f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.
Общим решением ОДУI называется функция у = φ(х, С) (С = const), т. что:
1) она является решением уравнения при любом значении С;
2) для любого начального условия y(x0) = y0, существует С=С0, т.что у = φ(х, С0) удовлетворяет данному начальному условию.
Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на плоскости Оху, зависящее от С. Эти кривые называются интегральными кривыми данного ОДУI.
