В. 5. Производные основных элементарных функций

С учётом полученного правила дифференцирования сложной функции таблицу производных можно записать в следующем виде:

 

Таблица производных

№	Функция у	Производная у’
	С
	x
	un	n∙un-1∙ u’
	eu	eu∙u’
	au	au ∙ln a ∙ u’
	ln u
	loga u
	sin u	cos u∙u’
	cos u	– sin u∙u’
	tg u
	ctg u
	arcsin u
	arcos u	–
	arctg u
	arcctg u	–

Пример 1. Найти производную функции:

а) у = х + 2; б) y = (2 x – 3)(3 x + 2); в) у = ; г) у = ; д) у = (x ³ – 2 x ² + 5)⁶; е) ; ж) ; з) y = tg(3 x ² – 1); и) .

Решение. а) у = х + 2

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2) ’ = (x) ’ + (2) ’ = 1 + 0 = 1.

б). y = (2 x – 3)(3 x + 2)

y’ = ((2 x – 3)(3 x + 2)) ’ = (2 x – 3) ’ ∙(3 x + 2) + (2 x – 3)∙(3 x + 2) ’ = 2∙(3 x + 2) + (2 x – 3)∙3 = 12 x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у =

Используя правило дифференцирования (7), имеем

у’ = = .

г) у =

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).

у' = .

д) у = (x ³ – 2 x ² + 5)⁶

Пусть x ³ – 2 x ² + 5 = и, тогда у = и ⁶. По формуле (3), получим у’ = (и ⁶) ’ = 6 u ⁵∙ u’ = 6(x ³ – 2 x ² + 5)⁵∙(x ³ – 2 x ² + 5) ’ = 6(x ³ – 2 x ² + 5)⁵∙(3 x ² – 4 x).

е)

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

= .

ж)

Используя формулы (4) и (10), имеем:

.

з) y = tg(3 x ² – 1).

По формуле (12) имеем:

y' = (tg(3 x ² – 1)) ’ = .

и) .

По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

=

= .

В. 6. Производная степенно-показательной функции

Производная степенно-показательной функции :

Т.е. для того чтобы найти производную степенно-показательной функции, нужно сначала продифференцировать её как степенную (формула (3)), затем как показательную (формула (7)) и полученные результаты сложить.

Пример 2. Вычислить производную функции .

Решение. .

Производная неявной функции F(x,y)=0 получается дифференцированием обеих частей уравнения, рассматривая y как функцию от x, а затем из полученного уравнения находится y`.

Пример 3. Найти производную от неявной функции x² +3xy + y² + 1 =0 и вычислить y` в точке (2; -1).

Решение. Дифференцируя по x, получаем: отсюда

. Подставим x =2, y = -1, получим .

В.7. Производные высших порядков

Производная называется производной 1-го порядка. Однако производная сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производная n -го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка:

.

Обозначается: и т.д.

Механический смысл 2-й производной: 2-ая производная пути по времени равна ускорению точки в момент t₀.

В.9. Приложения производной

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Другими словами, если имеется неопределенность или , то

Пример 4. Найти предел, используя правило Лопиталя: .

Решение. Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим:

= . Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило еще раз: = .

Ответ: 1.