Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными знаениями

Решение:

Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная законом распределения:

Обозначим наименьшее и наибольшее значения соответственно через и . Тогда

Итак,

Аналогично можно вывести, что

Объединяя, получим

Ч.Т.Д.

Дискретная случайная величина принимает положительных значений,, …, с вероятностями, равными соответственно,, …,. Предполагая, что возможные значения записаны в возрастающем порядке, доказать, что

Решение:

Принимая во внимание, что и , получим

Так как по условию возможные значения записаны в возрастающем порядке, т. е. , то

и .

Следовательно,

Предположение доказано.

Доказать, что если случайные величины,,… независимы, положительны и одинаково распределены, то

Решение:

Введем в расмотрение случайные величины

, , …, .(*)

Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины () положительны.

По условию, величины одинаково распределены, поэтому также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания: