Глава 19. Гипербола
| Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: | ||
| 515.1 | ее оси 2a=10 и 2b=8;
| |
| 515.2 | расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8;
| |
| 515.3 | расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2;
| |
| 515.4 | ось 2a=16 и эксцентриситет e=5/4;
| |
| 515.5 | уравнения асимптот  и расстояние между фокусами 2c=20;
| |
| 515.6 | расстояние между директрисами равно 228/13 и расстояние между фокусами 2c=26;
| |
| 515.7 | расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b=6;
| |
| 515.8 | расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет e=3/2;
| |
| 515.9 | уравнения асимптот  и расстояние между директрисами равно 64/5;
| |
| Составить уравнение гиперболы, фокусы которого расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: | ||
| 516.1 | ее полуоси a=6, b=18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенной на оси абсцисс);
| |
| 516.2 | расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3;
| |
| 516.3 | уравнения асимптот  и расстояние между вершинами равно 48;
| |
| 516.4 | расстояние между директрисами равно 50/7 и эксценриситет e=7/5;
| |
| 516.5 | уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно 32/5.
| |
| Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол: | ||
| 517.1 |  ;
| |
| 517.2 |  ;
| |
| 517.3 |  ;
| |
| 517.4 |  ;
| |
| 517.5 |  ;
| |
| 517.6 |  ;
| |
| 517.7 |  .
| |
Дана гипербола  . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
| ||
Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
| ||
Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы  и прямой  .
| ||
| Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. | ||
| 521.1 |  ;
| |
| 521.2 |  ;
| |
| 521.3 |  ;
| |
| 521.4 |  .
| |
Дана точка M1(10;  ) на гиперболе  . Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.
| ||
Убедившись, что точка М1(-5; 9/4) лежит на гиперболе  , определить фокальные радиусы точки М1.
| ||
Эксцентриситет гиперболы e=2, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16.
 Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
| ||
Эксцентриситет гиперболы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
| ||
Эксцентриситет гиперболы e=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.
| ||
Эксцентриситет гиперболы e=3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением x=-8. Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
| ||
Определить точки гиперболы  , расстояние от которых до правого фокуса равно 4,5.
| ||
Определить точки гиперболы  , расстояние которых до левого фокуса равно 7.
| ||
Через левый фокус гиперболы  проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
| ||
Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы  (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана).
| ||
| Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны: | ||
| 532.1 | точки M1(6; -1), M2(-8;  ) гиперболы;
| |
| 532.2 | точка М1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет e=  ;
| |
| 532.3 | точка М1(9/2; -1) гиперболы с уравнения асимптот  ;
| |
| 532.4 | точка М1(-3; 5/2) гиперболы и уравнения директрис  ;
| |
| 532.5 | уравнения асимптот и уравнения директрис  .
| |
Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
| ||
Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом 600.
| ||
Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса  . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e=2.
| ||
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса  , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
| ||
Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы  до ее асимптоты равно b.
| ||
Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная  .
| ||
Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы и прямыми, проведенными через любую ее точку параллельно асимптотами, есть величина постоянная, равная ab/2.
| ||
| Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси a и b, центр C(x0; y0) и фокусы расположены на прямой: | ||
| 540.1 | параллельной оси Ox; | |
| 540.2 | параллельной оси Oy.
| |
| Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис: | ||
| 541.1 |  ;
| |
| 541.2 |  ;
| |
| 541.3 |  .
| |
| Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. | ||
| 542.1 |  ;
| |
| 542.2 |  ;
| |
| 542.3 |  ;
| |
| 542.4 |  .
| |
| Составить уравнение гиперболы, зная, что: | ||
| 543.1 | расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F1(-10; 2), F2(16; 2);
| |
| 543.2 | фокусы суть F1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6;
| |
| 543.3 | угол между асимптотами равен 900 и фокусы суть F1(4; -4), F2(-2; 2).
| |
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=5/4, фокус F(5; 0) и уравнение соответствующей директрисы  .
| ||
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=13/12, фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директирсы  .
| ||
Точка А(-3; -5) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; -3), а соответствующая директриса дана уравнением  . Составить уравнение этой гиперболы.
| ||
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=  , фокус F(2; -3) и уравнение соответствующей директрисы  .
| ||
Точка М1(1; -2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответстующая директриса дана уравнением  . Составить уравнение этой гиперболы.
| ||
Дано уравнение равносторонней гиперболы  . Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты.
| ||
| Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: | ||
| 550.1 |  ;
| |
| 550.2 |  ;
| |
| 550.3 |  .
| |
Найти точку пересечения прямой  и гиперболы  .
| ||
Найти точки пересечения прямой  и гиперболы  .
| ||
Найти точки пересечения прямой  и гиперболы .
| ||
| В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее: | ||
| 554.1 |  ,  ;
| |
| 554.2 |  , ;
| |
| 554.3 |  , .
| |
Определить, при каких значениях m прямая  :
| ||
| 555.1 | пересекает гиперболу  :
| |
| 555.2 | касается ее; | |
| 555.3 | проходит вне этой гиперболы.
| |
Вывести условие, при котором прямая  касается гиперболы .
| ||
Составить уравнение касательной к гиперболе в ее точке M1(x1; y1).
| ||
Доказать, что касательные к гипербле, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
| ||
Составить уравнения касательных к гиперболе , перпендикулярных к прямой  .
| ||
Составить уравнения касательных к гиперболе  , параллельных прямой  .
| ||
Провести касательные к гиперболе  параллельно прямой  и вычислить расстояние d между ними.
| ||
На гиперболе  найти точку М1, ближайшую к прямой  , и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой.
| ||
Составить уравнение касательной к гиперболе  , проведенных из точки А(-1; -7).
| ||
Из точки С(1; -10) проведены касательные к гиперболе  . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
| ||
Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе  . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.
| ||
Гипербола проходит через точку А( ; 3) и касается прямой  . Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
| ||
Составить уравнение гиперболы, касающейся прямых  ,  , при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
| ||
Убедившись, что точки пересечения эллипса  и гиперболы являются вершинами прямоугольника, составить уравнения его сторон.
| ||
Даны гиперболы  и какая-нибудь ее касательная, Р – точка пересечения касательной с осью Ох, Q – проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что  .
| ||
Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной.
| ||
Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе есть величина постоянная, равная b2.
| ||
Прямая  касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение этой гиперболы.
| ||
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе  и расстояние между ее вершинами 2а=8.
| ||
Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит внутри угла F1MF2.
| ||
Из правого фокусы гиперболы  под углом  ( < <  ) к оси Ох направлен луч света. Известно, что  . Дойдя до гиперболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
| ||
Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
| ||
Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3. Определить уравнение линии, в котороую при этом сжатии преобразуется гипербола .
| ||
Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола  .
| ||
Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола  при двух последовательных равноменых сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу соответствуют 2/3 и 5/3.
| ||
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола  преобразуется в гиперболу .
| ||
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола преобразуется в гиперболу .
| ||
Определить коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола  преобразуется в гиперболу  .
|
