dQ=CVdT.
Число молей найдем из уравнения газового состояния (Менделеева–Клапейрона)
n=m/m=p1V/RT1.
Так как газ нагревается при постоянном объеме, то С=СV, где СV=iR/2.
Подставив значения n и СV в формулу для элементарного количества тепла, получим:
Отсюда, интегрируя и учитывая при этом, что все величины i, p1, T1, V постоянные, найдем полное количество теплоты, поглощенное газом при нагревании от T1 до T2, которое численно и будет равно изменению его внутренней энергии:
Q=DU=ip1V(T2–T1)/(2T1).
Проверив размерность, подставив в полученную формулу значения входящих величин в системе СИ, произведем вычисления:
DU=5×9,8×105×2×10–3(300-280)/(2×280)=35×103 Дж=35 кДж.
Ответ: ΔU=35 кДж.
46. Баллон емкостью V=20 л с кислородом при давлении p=100 ат и температуре t1=7oС нагревается до t2=27oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ?
Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным.
При изохорических процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии.
Применим к рассматриваемому газу первое начало термодинамики:
dQ=dU+dA.
Поскольку при изохорном процессе газ не совершает работы, то dA=0, а
dQ=dU.
Для внутренней энергии идеального газа справедливо соотношение
U=imRT/2m=ipV/2.
Отсюда для изменения внутренней энергии имеем
DU=ip1V(p2/p1-1)/2
Заменяя по закону Шарля для изохорного процесса отношение давлений p2/p1 отношением абсолютных температур T2/T1, получим:
Q=ip1V(T2/T1-1)=ip1VT1(T2-T1)/2.
Все величины, кроме i, даны в условии задачи. Поскольку кислород является двухатомным газом, то число степеней свободы i=5.
Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ: p=9,8×106 Па, V=2,00×10-2 м3, T1=280 К, T2=300 К.
Подставив эти значения и выполнив вычисление, получим
Q=5×9,8×106×2,00×10-2(300/280-1)/2=3,5×103 Дж.
Ответ: Q=3,5×103 Дж=35 кДж.
47. Какую работу надо совершить, чтобы, медленно сжимая при помощи поршня газ в цилиндре с хорошо проводящими тепло стенками, увеличить его давление в два раза? Начальное давление газа равно атмосферному p1=760 мм рт.ст., начальный объем V1=5,0 л. Во время сжатия давление и температура окружающего воздуха остаются постоянными. Весом поршня и трением пренебречь. Сколько тепла выделяется при сжатии газа?
Решение. Вначале выясним, каким процессом является сжатие газа в условиях задачи? Медленное протекание процесса и большая теплопроводность стенок цилиндра позволяют считать температуру газа равной температуре окружающей среды в течение всего процесса. Так как температура, согласно условию, остается неизменной, то сжатие газа следует считать изотермическим процессом.
Работа газа при изотермическом процессе определяется формулой:
.
Преобразуем ее применительно к данной задаче, используя уравнение газового состояния и закон Бойля–Мариотта:
.
Поскольку p1<p2, то Aг<0. Как и следовало ожидать, работа, совершенная газом при его сжатии, отрицательна. В этом случае положительной будет работа Aвн, совершенная внешними силами, сжимающими при помощи поршня газ в цилиндре:
.
Однако это выражение еще не является ответом, так как Aвн есть сумма двух работ: работы A силы, приложенной к поршню (например, силы руки), и работы Aатм силы атмосферного давления, т.е.
Aвн=A+Aатм.
По условию задачи искомой величиной является работа A. Величину же Aатм можно найти по формуле работы газа при изобарном процессе
Aатм=p1(V1-V2),
поскольку атмосферное давление p1 остается постоянным. При этом индексы у объемов проставлены так, чтобы работа Aатм, вычисленная по формуле, была положительной. Преобразуем эту формулу, учитывая, что газ в цилиндре сжимается изотермически:
Aатм=p1V1(1-V2/V1)=p1V1(1-p1/p2).
Искомая работа
A=Aвн-Aатм=p1V1(lnp2/p1-1+p1/p2).
Для определения количества теплоты, выделенного при сжатии газа, воспользуемся первым началом термодинамики. Поскольку при изотермическом процессе (T=const) изменение внутренней энергии равно нулю:
DU=m CVDT/m=0
из уравнения Q=DU+A получаем, что количество теплоты, сообщенное газу, равно
Q=Aг=p1V1×lnp1/p2=-p1V1×lnp1/p2.
Величина Q оказалась отрицательной, что обусловлено выделением теплоты газом при его сжатии.
Выразим данные величины в единицах СИ:
V1=5,0×10-3 м3, p1=1,01×105 Па, p2/p1=2. Подставив эти значения в формулы и выполнив вычисление, получим:
;
Q=-1,01×105×5,0×10-3×ln2=-3,5×102 Дж=-0,35 кДж.
Ответ: A=0,10 кДж; Q=-0,35 кДж.
48. В цилиндре с плохо проводящими тепло стенками, закрытом сверху легко скользящим поршнем, площадь которого равна 20 см2 и массой mп=2,00 кг, находится воздух, который занимает объем V1=1,00 л. На поршне лежит гиря массой mг=8,00 кг. Если быстро убрать гирю, воздух расширится и поднимет поршень (рис. 3.10).
Определить работу расширения воздуха за время, в течение которого скорость поднимающегося поршня достигнет максимального значения vmax. Атмосферное давление po принять равным 1,00 ат.
Решение. Прежде всего, выясним характер процесса расширения воздуха в цилиндре. Учитывая, что, по условию, воздух расширяется быстро, а стенки цилиндра обладают плохой теплопроводностью, можно пренебречь теплообменом между воздухом и окружающей средой, т.е. считать процесс расширения воздуха адиабатическим.
Из условия задачи легко определить начальное давление p воздуха в цилиндре. На поршень в начальном состоянии действуют силы: сила тяжести поршня mпg, вес гири, равный mгg, сила атмосферного давления, равная poS, и сила давления воздуха, равная p1S. Первые три силы направлены вниз, последняя сила – вверх. Из условия равновесия поршня имеем
p1S=mпg+mгg+poS.
Откуда
p1=(mп+mг)g/S+p0=1,47×105 Па.
Условие задачи позволяет также определить давление p2 воздуха в цилиндре в тот момент, когда скорость поднимающегося поршня достигнет максимума. Поскольку воздух расширяется адиабатически, из уравнения Пуассона pV=const следует, что его давление, а значит, и сила давления на поршень будут уменьшаться. После того как сняли с поршня гирю, сила давления воздуха на поршень снизу была сначала больше, чем сумма сил mg+pS, действующих на него сверху, но спустя некоторый промежуток времени, в течение которого поршень двигался ускоренно, силы, приложенные к поршню, окажутся снова в равновесии.
Именно в этот момент скорость поршня достигнет значения vmax, так как при дальнейшем увеличении объема воздуха в цилиндре его давление станет меньше суммы давлений сил mпg+p0S. Теперь равнодействующая сил, приложенных к поршню, окажется направленной вниз и скорость поршня будет убывать. Таким образом, из условия равновесия сил, соответствующего максимуму скорости поршня:
p2S=mпg+p0S,
находим
p2=mпg/S+p0=1,08×105 Па.
Теперь, зная начальное p1 и конечное p2 давления воздуха в адиабатическом процессе, а также начальный объем V1, легко найти работу расширения газа:
.
Неизвестное отношение объемов выразим через отношение давлений
.
Таким образом, имеем
.
Поскольку воздух является смесью двухатомных газов – азота и кислорода, определим показатель адиабаты, отношение его теплоемкостей, как для двухатомного газа i=5:
g=Cp/CV=(i+2)/i=(5+2)/5=1,4.
Подставив числовые значения величин в единицах СИ, получим
Дж.
Ответ: A=30 Дж.
49. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T1=300 К. Водород сначала расширялся адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз (рис. 3.11). Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.
Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением
или 
,
где g – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме;
Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:
Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле
A=mCV(T1-T2)/m,
где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Работа A2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:
A2=mRT2ln(V3/V2)/m, или A2=mRT2ln(1/n2)/m,
где 
Выразив все величины в единицах СИ, подставив их в соответствующие формулы, произведем вычисления, учитывая, что для водорода как для двухатомного газа g=1,4, i=5 и m=2×10-3 кг/моль, получим:
T2=157 К;
A1=29,8 кДж;
A=-21 кДж.
Знак минус показывает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.
Ответ: T2=157 К; A1=29,8 кДж; A=-21 кДж.
50. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T1=500 К (рис. 3.12). Определить термический КПД h цикла и температуру T2 теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу A=350 Дж.
Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
h=A/Q1=(Т1-Т2)/Т1,
где Q – теплота полученная от теплоотдатчика;
A – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины;
T1 – температура теплоотдатчика;
T2 – температура теплоприемника.
Зная КПД цикла, по формуле T2=T1×(1-h) можно определить температуру теплоприемника.
В условии задачи все величины представлены в единицах СИ, подставив их в соответствующие формулы, произведя вычисления, получим:
h=350/1000=0,35;
T2=500×(1-0,35)=325 К.
Ответ: h=0,35; T2=325 К.
51. Идеальный трехатомный газ совершает цикл, состоящий из изохоры (1–2), изобары (2–3), изохоры (3–4) и изобары (4–1). Определить КПД цикла, если V1=1,00 л, V2=2,00 л, p1=1,0 атм, p2=2,0 атм. Считая величины V1, V2, p1, p2 переменными, принимающими любые положительные значения, найти предельный (наибольший) КПД данного цикла (рис. 3.13).
Решение. Рассмотрим процессы цикла по порядку.
1. Первый процесс. Объем V1 газа сохраняется, при этом давление его увеличивается от p1 до p2. Так как при изохорном процессе давление газа пропорционально его абсолютной температуре, видим, что температура газа здесь повышается. Следовательно, газ при этом получает (от нагревателя) количество тепла Q12.
2. Второй процесс. Давление p2 газа сохраняется, объем же увеличивается от V1 до V2, при этом газ совершает работу, равную
A23=p2(V2-V1).
Так как при изобарном процессе объем газа пропорционален абсолютной температуре, видим, что температура газа и в этом процессе повышалась. Следовательно, и здесь газ получил количество теплоты Q23.
3. Третий процесс. Процесс идет изохорно (V2=const), давление газа уменьшается от p2 до p1, что означает понижение температуры. Следовательно, газ при этом отдает (холодильнику) количество теплоты Q34.
4. Четвертый процесс. При постоянном давлении p1 газ сжимается от объема V2 до объема V1 и совершает при этом отрицательную работу
А41=p1(V1–V2)=-p1(V2-V1).
Уменьшение объема при изобарном процессе связано с понижением температуры газа. Следовательно, здесь, как и в предыдущем случае, газ отдает (холодильнику) некоторое количество тепла Q41.
Теперь можно приступить к вычислению КПД цикла по формуле:
h=A/Q1=(Q1-Q2)/Q1=(T1-T2)/T1.
где A – работа, совершенная рабочим веществом в течение цикла;
Q1 – количество теплоты, полученное за это время рабочим веществом;
Q2 – количество теплоты, отданное при этом холодильнику;
T1 и T2 – наивысшая и наинизшая температуры рабочего вещества.
Работа газа совершается во втором и четвертом процессах и равна
A=A23+A41=(p2-p1)(V2-V1).
Количество теплоты Q, сообщенное газу при его нагревании, найдем на основании первого начала термодинамики. Учитывая, что газ получает теплоту в первом и втором процессах:
Q=DU+A.
Изменение внутренней энергии DU при переходе газа из состояния 1 в состояние 3 вычислим как разность значений U3 и U1:
DU=U3-U1=imR(T3-T1)/2m
На основании уравнения газового состояния, можно записать:
DU=i(p2V2-p1V1)/2.
Подставив вместо DU и A23 их значения в формулу для определения Q1, получим
Q1=i(p2V2-p1V1)/2+p2(V2-V1).
Наконец найдем КПД цикла
Подставив числовые значения величин p1, p2, V1, V2, из условия задачи и учитывая, что газ трехатомный и, следовательно, i=6, получим:
.
Чтобы определить наибольший КПД цикла, выразим количество теплоты, сообщенное газу, через молярные теплоемкости Cp и CV
Q=Q1+Q2=nCV(T2-T1)+nCp(T3-T2).
С помощью уравнения Менделеева–Клапейрона, записав его для каждого из трех состояний 1, 2, 3 преобразуем вышенаписанную формулу для Q1:
Q1=((p2–p1)V1CV/R)+((V2-V2)p2Cp/R).
Подставив значения A и Q1 в формулу для КПД, получим
Чтобы упростить исследование, разделим числитель и знаменатель на произведение p2V2 и введем обозначения a=p1/p2, b=V1/V2:
Заметим, что согласно условию каждая из величин a и b может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.
При произвольном фиксированном значении b выражение приобретает вид:
,
где K1, K2, K3 – постоянные положительные величины.
Из полученного выражения видно, что h(a) – убывающая функция. Следовательно, она принимает наибольшее значение при a=0.
При любом фиксированном значении a имеем
где К4, К5, К6 – постоянные положительные величины.
Из последнего выражения видно, что (b) – убывающая функция. Значит, ее наибольшему значению соответствует b=0.
Сопоставляя полученные результаты, приходим к выводу, что, положив в формуле для КПД a=0, b=0, найдем предельное значение hпред:
hпред=R/Cp=2/(i+2)=2/(6+2)=0,25.
Ответ: η=0,09; hпред=0,25.
52. Цикл Карно, совершаемый смесью жидкости и пара, происходит в том же температурном интервале, что и цикл, рассмотренный в задаче 50. Определить КПД цикла Карно.
Решение. КПД цикла Карно, состоящего из двух изотерм и двух адиабат, не зависит от того, какое рабочее вещество совершает этот цикл, и равен
hК=(Т1-Т)/Т1.
Таким образом, задача сводится к определению наивысшей и наинизшей температур газа в условиях задачи 50.
Было уже выяснено, что газ нагревался при совершении первого и второго процессов и охлаждался при совершении третьего и четвертого процессов. Следовательно, наивысшей температурой газ обладал после второго процесса, наинизшей – вначале первого или в конце четвертого. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, можно записать на основании уравнения газового состояния:
T1=T3=p2V2/nR, T2=T1=p1V1/nR.
Подставив эти значения T1 и T2 в формулу для определения КПД цикла Карно, получим
hК=(p2V2–p1V1)/p2V2.
Ответ: η=(p2V2-p1V1)/p2V2.
53. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого h=0,25. Каков будет холодильный коэффициент h' машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении? Холодильным коэффициентом называется отношение количества теплоты, отнятого от охлаждаемого тела, к работе двигателя, приводящего в движение машину.
Решение. КПД любого цикла, в том числе и цикла Карно, можно определить по формуле
h=A/Q1=(Q1-Q2)/Q1.
Особенностью цикла Карно является его обратимость: процесс может протекать как в прямом, так и в обратном направлении. При обратном цикле Карно рабочее вещество будет, расширяясь по изотерме T2=const, отбирать от холодильника количество теплоты Q2 и, сжимаясь по изотерме T1=const, отдавать нагревателю количество теплоты Q1. При этом работа, совершенная рабочим веществом за один цикл, будет отрицательной (положительная работа расширения меньше по модулю отрицательной работы сжатия). В этом случае положительной будет работа A двигателя, приводящего в действие машину.
Согласно определению холодильного коэффициента, запишем
h'=Q2/A.
Чтобы его определить, исключим из формулы КПД цикла Карно величину Q1=A+Q2:
h=A/(A+Q2).
Выполнив преобразования, получим:
1/h=(A+Q2)/A=1+Q2/A=1+h'
или
h'=1/h-1.
Подставив численные значения, будем иметь
h'=1/0,25-1=3, или h'=300%.
Ответ: h'=3, или h'=300%.
54. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n=1 моль, находится под давлением p1=250 кПа и занимает объем V1=10 л. Сначала газ изохорно нагревают до температуры T2=400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления (рис. 3.14). После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить термический КПД цикла.
Решение. Для наглядности решения задачи можно построить график цикла, который будет состоять из изохоры, изотермы и изобары, с характерными точками начала и конца соответствующих процессов: 1, 2, 3. термический коэффициент полезного действия любого цикла определяется выражением
h=(Q1-Q2)/Q1=1-Q2/Q1,
где Q1 – количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя;
Q2 – количество теплоты, отданное газом за цикл охладителю (холодильнику);
(Q1-Q2)=A – работа, совершаемая газом за цикл.
Рабочее вещество (газ) получает тепло Q1 от нагревателя, в рассматриваемом случае, при переходе из состояния 1 в состояние 2 (изохорно) Q12 и при переходе из состояния 2 в состояние 3 (изотермически) Q23. Таким образом:
Q1=Q12+Q23.
Количество теплоты, полученное газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (при изохорическом процессе):
Q12=CVn(T2-T1),
где CV – молярная теплоемкость при постоянном объеме;
n – количество вещества;
T1 – температура газа в начальном состоянии (1);
T2 – температура газа в конечном состоянии (2).
Температуру T1 начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона:
T1=p1V1/(nR).
Количество теплоты, полученное газом при переходе из состояния 2 в состояние 3 (при изотермическом процессе), равно
Q12=nRT2×ln(V2/V1),
где V2 – объем газа при температуре T2 и давлении p1 в состоянии 3.
Количество теплоты, отданное газом при переходе из состояния 3 в состояние 1 (при изобарическом процессе)
Q2=Q31=nCp(T2-T1),
где Cp – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.
Подставим найденные значения Q1 и Q2 в формулу для термического коэффициента полезного действия, будем иметь
В полученном выражении заменим отношение объемов, согласно закону Гей-Люссака, отношением температур V2/V1=T2/T1.
Выразив CV и Cp через число степеней свободы молекул газа CV=iR/2 и Cp=(i+2)R/2, после сокращения на n и R/2, получим:
Подставив значения i, T1, T2 и R и произведя вычисление, найдем
.
Ответ: h=0,041=4,1%.
55. Нагреватель тепловой машины, работающий по обратимому циклу Карно, имеет температуру t1=200 oС. Определить температуру T2 охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты Q1=1 Дж машина совершает работу A=0,4 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитывать.
Решение. Температуру охладителя найдем, воспользовавшись выражением для термического КПД машины, работающей по циклу Карно:
h=(T1-T2)/T1.
Отсюда
T2=T1(1-h).
Термический КПД тепловой машины выражает отношение количества теплоты, которое превращено в механическую работу A, к количеству теплоты Q1, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя):
h=A/Q1.
Подставив это выражение, найдем
T2=T1(1-A/Q1).
Учтя, что Т1=473 К, после вычисления будем иметь
T2=473(1-0,4/1)=284 К.
Ответ: T2=284 К.
56. Найти изменение энтропии при нагревании воды массой m=100 г от температуры t1=0 oС до температуры t2=100 oC и последующем превращении воды в пар той же температуры.
Решение. Полное изменение энтропии в данном случае равно сумме изменения энтропии при нагревании воды и изменения энтропии системы при ее превращении в пар
DS=DS'+DS''.
Найдем изменение энтропии при нагревании воды. Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой
При бесконечно малом изменении температуры dT нагреваемого тела затрачивается количество теплоты
dQ=mc×dT,
где m – масса тела;
c – его удельная теплоемкость.
Подставив выражение dQ для изменения энтропии при нагревании воды, будем иметь
После интегрирования получим
DS=mc×ln(T2/T1).
Изменение энтропии во время превращения воды в пар при постоянной температуре
где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.
Подставив выражение количества теплоты Q=lm, где l – удельная теплота парообразования, получим
DS''=lm/T.
Таким образом, искомое полное изменения энтропии будет равно
DS=mc×ln(T2/T1)+lm/T.
Подставив численные значения величин в единицах системы СИ, произведем вычисление
DS=100×10-3×4,19×103×ln(373/273)+2,26×106×100×10-3/373=736 Дж/К.
Ответ: DS=736 Дж/К.
57. Определить изменение энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m=10 г от объема V1=25 л до объема V2=100 л.
Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении для изменения
Проинтегрировав это выражение, получим
DS=Q/T.
Количество теплоты Q, полученное газом, найдем из первого начала термодинамики:
Q=DU+A.
Для изотермического процесса DU=0, следовательно Q=A, a работа для этого процесса определяется по формуле
A=(m/m)RT×lnV2/V1.
