Основы молекулярной физики и термодинамики 1 страница

Конденсированное состояние. Кинематика и динамика жидкостей. Основные понятия, определения и законы молекулярной физики и термодинамики.
Статистический метод исследования. Основы термодинамики.
Реальные газы. Фазовые равновесия и превращения. Кинетические явления.

Примеры решения задач

1. В дне цилиндрического сосуда диаметром D=0,5 м имеется круглое отверстие диаметром d=1 см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты h=0,2 м (рис. 3.1).

Решение. Обозначим: S₁ – площадь поперечного сечения сосуда и v₁ – скорость течения воды в нем (скорость понижения уровня воды в сосуде), S₂ – площадь поперечного сечения отверстия и v₂ – скорость вытекания воды из отверстия.

По теореме Бернулли

или ,

откуда

,

где r – плотность воды;

g – ускорение силы тяжести;

h – высота уровня жидкости.

Используя теорему о неразрывности струи v₁S₁=v₂S₂, можно определить v₂:

v₂=v₁S₁/S₂.

Подставляя v₂ в формулу v₁, будем иметь:

v₁²=(v₁S₁/S₂)²-2gh.

Решая полученное уравнение относительно v₁, получим

Учитывая, что S₁=pD²/4 и S₂=pd²/4, имеем

Так как d⁴<<D⁴, то приближенно, скорость понижения уровня воды в сосуде в зависимости от высоты h этого уровня, определяется соотношением

Отметим, что если d=D, то

Подставляя значения величин входящих в полученную формулу в единицах СИ, произведя вычисление, окончательно будем иметь

v₁=0,8 мм/с=0,8×10^-3 м/с.

Ответ: v₁=0,8×10^-3 м/с.

2. Цилиндрический бак высотой h=1 м наполнен до краев водой. За какое время t вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь S₂ поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, за которое понадобилось бы для вытекания такого же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте h=1 м от отверстия (рис. 3.2).

Решение. Для определения скорости понижения уровня воды в баке воспользуемся уравнением Бернулли в виде

.

Откуда

,

где r – плотность жидкости;

v₁ – скорость течения воды в баке (скорость понижения уровня воды в баке);

v₂ – скорость вытекания воды из бака;

y – высота уровня воды в баке (переменная величина);

ρ – давление жидкости.

В силу неразрывности струи

,

где S₁ – площадь поперечного сечения бака;

S₂ – площадь поперечного сечения отверстия.

Из уравнения имеем

.

Подставляя значение скорости вытекания воды в выше записанное уравнение, получим

.

За время dt уровень воды в баке понизится на

.

Откуда имеем

.

Проинтегрировав это выражение, получим

.

Подставив численные значения, произведя вычисления, имеем

с.

Нетрудно убедиться, что если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте h=1 м от отверстия, то время вытекания воды было бы в два раза меньше.

Ответ: t=1,8·10² с.

3. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R=2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого r=1 мм и длина ℓ=2 см. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого η=1,2 Па×с (рис. 3.3). Найти зависимость скорости v понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Найти значение этой скорости при h=26 см.

Решение. Скорость понижения уровня касторового масла в сосуде зависит от скорости протекания масла через капилляр.

Объем масла, протекающего за время t через капилляр, определяется формулой Пуазейля

V=pr⁴tDp/(8ℓh),

где r – радиус капилляра;

Dp – изменение давления на концах капилляра;

ℓ – длина капилляра;

h – динамическая вязкость жидкости (касторового масла).

Разность давлений на концах капиллярах обусловлена гидростатическим давлением слоя жидкости, т.е.

Dp=rgh.

С другой стороны,

V=S'v't=pr²v't,

где v' – скорость протекания масла через капилляр.

Решая совместно вышенаписанные уравнения относительно v, получим

v'=r²rgh/(8ℓh).

В силу теоремы о неразрывности струи

v₁S₁=v₂S₂,

где v – скорость понижения уровня масла в сосуде;

S – площадь поперечного сечения сосуда.

Окончательно для скорости понижения уровня масла в сосуде, будем иметь

v=r⁴rgh/8ℓhR².

Подставляя значения величин входящих в полученную формулу в единицах СИ, произведя вычисление, окончательно будем иметь

v=(1×10^-3)⁴×0,96×10³×9,8×0,26/8×2×10^-2×1,2×2²=3×10^-5 м/с.

Ответ: v=3×10^-5 м/с.

4. К пружинным весам подвешена тонкая металлическая пластина. Нижний ее край длиной L=10,0 см приведен в соприкосновение с поверхностью жидкости, которая полностью смачивает пластину. После этого пластину начинают медленно поднимать. Перед ее отрывом от жидкости поверхность последней принимает сложную форму, изображенную на рисунке 3.4. При этом свободная поверхность жидкости у границы с пластиной располагается приблизительно в вертикальной плоскости. Зная, что для отрыва пластины потребовалась сила F=0,45×10^-3 кгс, определить коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

Решение. Чтобы найти коэффициент поверхностного натяжения, нужно, как это следует из формулы б=F/ℓ, необходимо знать силу поверхностного натяжения, действующую на единицу длины какого–либо контура, ограничивающего поверхность жидкости. Таким контуром является линия соприкосновения свободной поверхности жидкости с пластиной, имеющей форму очень узкого прямоугольника. Следовательно, ее длина равна 2L (длиной двух других сторон пренебрегаем).

На пластину вдоль каждой единицы длины этого контура действует со стороны жидкости сила поверхностного натяжения, равная коэффициенту поверхностного натяжения. Векторы этих сил перпендикулярны контуру и являются касательными к свободной поверхности жидкости. Поэтому в условиях данной задачи они направлены вертикально вниз и, следовательно, параллельны друг другу. Поэтому результирующая сила поверхностного натяжения F_н, действующая на пластину, также направлена вертикально вниз и равна сумме сил, действующих на отдельные элементы контура, т.е.

F=2Lσ.

Для отрыва пластины от жидкости необходимо приложить силу F, направленную вертикально вверх, которая бы уравновесила силу поверхностного натяжения. Следовательно,

F_н=F=2Lσ.

Откуда

σ=F/2L.

Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ: L=0,100 м, F=4,4×10^-3 Н. Выполнив вычисление, найдем

σ=4,4×10^-3/2×0,100=22×10^-3 Н/м.

Примечание. Существенно, что в данной задаче пластина была тонкой, так что площадью ее соприкосновения с жидкостью, площадью прямоугольника, можно было пренебречь. В противном случае необходимо учитывать отрицательное давление, создаваемое в жидкости около пластины вследствие кривизны ее поверхности. Тогда соотношение F_н=F оказывается неверным. Кроме того, для толстой пластины силы поверхностного натяжения, приложенные к отдельным элементам прямоугольного контура, не будут даже приблизительно параллельны друг другу и поэтому соотношение F_н=2Lσ также перестанет выполняться. Решение задачи в случае толстой пластины становится сложным.

Ответ: σ=22×10^-3 Н/м.

5. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь радиусом 0,05 м? Чему равно избыточное давление внутри пузыря (рис. 3.5)?

Решение. Мыльный пузырь представляет собой очень тонкую мыльную пленку мыльной воды приблизительно сферической формы. Эта пленка имеет две поверхности – наружную и внутреннюю. Пренебрегая толщиной пленки и считая, поэтому радиусы сфер одинаковыми, их общая площадь будет равна

S=8pR².

Поскольку до образования пузыря поверхность мыльной воды, из которой он выдут, была весьма мала, можно считать, что записанное соотношение выражает изменение (увеличение) площади поверхности мыльной воды на DS.

Увеличение поверхности жидкости на DS связано с увеличениием поверхностной энергии

DW=σDS.

Совершаемая при выдувании пузыря работа против сил поверхностного натяжения идет на увеличение поверхностной энергии

A=DW=8pR²σ.

Для определения избыточного давления внутри пузыря учтем, что каждая из двух сферических поверхностей пузыря (наружная и внутренняя) производит вследствие своей кривизны давление на воздух внутри пузыря. Это давление, производимое каждой сферой, можно найти по формуле Лапласа, имея в виду, что радиусы кривизны всех нормальных сечений для сферы равны ее радиусу, следовательно, R₁=R₂=R. Таким образом, избыточное давление воздуха внутри пузыря

Dp=2p_пов=4σ/R.

Взяв из таблицы значение для мыльной воды (σ=40×10^-3 Н/м) и выполнив вычисление, получим

A=DW=8×3,14×(0,05)²×40×10^-3=2,5×10^-3 Дж.

Dp=4×40×10^-3/0,05=3,2 Па.

Ответ: A=2,5×10^-3 Дж=2,5 мДж; Dp=3,2 Па.

6. Вертикально расположенная капиллярная трубка длиной ℓ=200 мм с запаянным верхним концом своим нижним концом приведена в соприкосновение с поверхностью воды. На какую высоту поднимется вода в трубке, если ее радиус R₀=2,0×10^{-4 м? Атмосферное давление} p=1,00×10⁵ Па. Считать, что вода полностью смачивает трубку.

Решение. Здесь нельзя применять формулу:

h=2σ/rrg,

где r – плотность жидкости;

g – ускорение свободногопадения;

σ – коэффициент поверхностного натяжения.

Эта формула определяет высоту поднятия жидкости в капилляре при полном смачивании и справедлива лишь для открытой с обоих концов трубки.

Для решения задачи рассмотрим столбик воды, находящийся в равновесии в капилляре, после того как он уже поднялся под действием сил поверхностного натяжения. Согласно условию равновесия разность давлений у его концов равна гидростатическому давлению, производимому столбиком жидкости высотой h на его основание, т.е.

p₁-p₂=rgh,

где p₁ и p₂ – давления внизу и вверху столба соответственно.

Так как жидкость у нижнего края трубки находится в состоянии равновесия, то давление внизу столба (точка 1 на рисунке 3.6) равно давлению в воде у ее открытой поверхности, т.е. атмосферному давлению

p₀=p₁,

Поскольку столб воды ограничен сверху изогнутой поверхностью, давление p₂ вверху (точка 2) отличается от давления p_в воздуха в трубке на величину p_пов, следовательно

p₂=p_в+p_пов.

При расчете давления p_пов учтем, что мениск в узком капилляре имеет форму полусферы и, следовательно, R₁=R₂=R. Поэтому

p_пов=2б/R,

где R=R₀.

Так как данный мениск вогнутый, то p_пов<0. Значит, следует считать R=-R₀. Тогда

p_пов=-2б/R₀,

Давление воздуха в трубке можно выразить через данные величины p₀, ℓ, h при помощи закона Бойля-Мариотта. Воздушный столб высотой (ℓ-h) при давлении p_в имел при атмосферном давлении p_o высоту ℓ. Поскольку объем столба пропорционален его длине, то можно записать:

p_в(ℓ-h)=p₀ℓ; p_в=p₀ℓ/(ℓ-h).

Подставив в формулу разности давлений значения p₁ и p₂ с учетом p_пов, p_в, будем иметь

p₀-(p₀ℓ/(ℓ-h)-2б/R)=rgh.

Взяв из таблиц значения ρ и σ для воды, выразив в единицах СИ величины, входящие в последнее соотношение, подставив их и решив квадратное уравнение относительно h, получим

h₁=11 м; h₂=0,014 м.

Поскольку должно выполняться очевидное неравенство h<ℓ, то ответом на вопрос задачи является второе значение.

Ответ: h=0,014 м.

7. На полированную стеклянную пластинку капнули 0,010 г воды и наложили сверху вторую такую же пластинку. Вода растеклась между пластинками по площади круга радиуса R=3,0 см, не дойдя до ее краев. С какой силой надо растягивать обе пластинки, чтобы их разъединить? Считать, что вода полностью смачивает стекло.

Решение. Сначала выясним, почему возникает сила притяжения между пластинками. При наложении пластинок свободная поверхность воды вследствие полного смачивания образует вогнутый мениск в виде полуокружностей (рис. 3.7). Следовательно, давление в жидкости, заключенной между пластинками, меньше атмосферного на величину p_пов, определяемую по формуле

p_пов=σ(1/R₁+1/R₂),

где R₁ и R₂ – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости. При этом p_пов положительно, если поверхность жидкости выпуклая, и отрицательно, если – вогнутая.

Под избытком внешнего давления пластины сближаются, вода растекается между ними все более тонким слоем. Этот процесс прекратится, когда жидкость дойдет до краев пластин, после чего мениск распрямится, а поверхностное давление и сила притяжения между пластинами исчезнут, или когда дальнейшее сближение пластин станет невозможным из-за того, что они начнут соприкасаться друг с другом в некоторых точках вследствие неровностей их поверхности. Очевидно, что именно последний случай имеет место в задаче.

Сила притяжения между пластинками равна избыточному внешнему давлению p_пов, умноженному на площадь одной пластины, т.е.

F=p_повS=p_пов σR²,

где R – радиус круга растекания жидкости.

Чтобы определить величину p_пов, рассмотрим два взаимно перпендикулярных нормальных сечения поверхности жидкости. Очевидно, радиус кривизны R₁ первого сечения равен половине расстояния между пластинками; радиус кривизны R₂ второго сечения равен радиусу круга растекания жидкости. Поскольку при этом выполняется неравенство R₁<<R₂, то в формуле для избыточного давления, можно пренебречь величиной 1/R₂, т.е. кривизной второго сечения, и рассматривать мениск приближения как вогнутую цилиндрическую поверхность. Таким образом, получим

p_пов=σ/R₁=2σ/d,

где d – расстояние между пластинками, которое можно определить, разделив объем воды на площадь ее растекания:

d=V/S=m/rpR²,

где m – масса воды;

r – ее плотность.

Наконец определим силу притяжения между пластинками:

F=2p²σrR⁴/m.

Чтобы разъединить пластинки, их надо растягивать с силой, по крайней мере, равной силе их взаимного притяжения. Таким образом, полученная формула дает ответ на поставленный в задаче вопрос.

Взяв из таблиц значения σ и r для воды, выразим входящие величины в единицах СИ: R=3,0×10^{-2 м, σ=0,073 Н/м,} r=1,00×10³ кг/м³, m=1,0×10^{-5 кг. Произведем вычисление, получим}

F=1,2×10³ Н.

Ответ: F=1,2×10³ Н=0,12 кН.

8. Найти плотность масла в гидравлической системе пресса при давлении 500×10⁵ Па, если плотность его при 20 ^oС и давлении 1,013×10⁵ Па равна 910 кг/м³, а коэффициент сжатия равен 6×10^-10м²/Н.

Решение. По определению, коэффициент сжатия

К=-dV/V×dp,

где dV – изменение объема;

V – первоначальный объем;

dp – изменение давления.

Разделяя переменные имеем

-dV/V=K×dp.

Проинтегрируем это выражение в заданных пределах:

Получаем

Ln(V_к /V_н)=-KDp; или V_к=V_н exp(-КDp)≈V_н(1-KDp).

Так как плотность r=m/V, то

m/V_к=m/V_н(1-KDp),

т.е.

r_к=r_н/(1-KDp).

Подставляя значения величин входящих в полученную формулу в единицах СИ, произведя вычисление, окончательно будем иметь

r_к=910/(1-6×10^-10×499×10⁵)=938 кг/м³.

Ответ: r_к=938 кг/м³.

9. Определить для серной кислоты: 1) относительную молекулярную массу; 2) молярную массу.

Решение. 1. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав молекулы данного вещества, и определяется по формуле

,

где n_i – число атомов i-го элемента, входящих в молекулу;

A_ri – относительная атомная масса i-го элемента.

Химическая формула серной кислоты имеет вид H₂SO₄. Так как в состав молекулы серной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равенства сумма будет состоять из трех слагаемых и формула примет вид

m_r=n₁A_r1+n₂A_r2+n₃A_r3.

Из формулы серной кислоты далее следует, что n₁=2, n₂=1, n₃=4.

Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода соответственно равны A_r1=1, A_r2=32, A_r3=16. Подставив значения n_i и A_ri, будем иметь

m_r=2+32+64=98.

2. Зная относительную молекулярную массу, найдем молярную массу серной кислоты по формуле

m =m_rk,

где k=10^-3 кг/моль.

Подставив в последнее выражение значения величин, получим m=98×10^-3 кг/моль.

Ответ: m_r=98; m=98×10^-3 кг/моль.

10. Определить молярную массу смеси m_см кислорода массой m₁=25 г и азота массой m₂=75 г.

Решение. Молярная масса m_см смеси, это отношение массы смеси m_см к количеству вещества n_см смеси:

m_см=m_см/n_см.

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:

m_см=m₁+m₂.

Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов

Подставив выражения m_см и n_см в ранее записанную формулу для молярной массы получим

где m₁=32×10^-3 кг/моль, m₂=28×10^-3 кг/моль.

Подставив значение величин и произведя вычисление, будем иметь m_см=28,9.10^-3 кг/моль.

Ответ: m_см=28,9·10^-3 кг/моль.

11. Определить число молекул N, содержащихся в объеме V=1 мм³ воды, и массу m₁ одной молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Решение. Число молекул N, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро на количество вещества

N=nN_А.

Так как n=m/m, где – молярная масса, то

N=(m/n)N_А.

Выразив в формуле массу как произведение r плотности на объем V, получим

N=(rV/m)N_А.

Произведем вычисления, учитывая m=18×10^-3 кг/моль,

r=1×10³ кг/м³, V=1×10^{-9 м3}, N=6,02×10²³ моль^-1.

.

Массу одной молекулы m₁ можно найти по формуле:

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую из них приходится объем (кубическая ячейка)

V₁=d³,

где d – диаметр молекулы.

Тогда

d=V₁^1/3.

Объем V₁ найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т.е. на N_А:

V₁=V_m /N_А.

Для диаметра одной молекулы будем иметь

d=(V_m/N_А)^1/3,

где V_m=m/p.

Окончательно

d=(m/(p N_А))^1/3.

Произведем вычисления

м.

Ответ: ; м.

12. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p₁=1 МПа и при температуре T=300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия, температура газа понизилась до Т=290 К. Определить давление гелия оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа:

;

,

где m₁, m₂ – масса гелия в баллоне в начальном и конечном состояниях;

μ – молярная масса гелия;

R – универсальная газовая постоянная;

T₁ и T₂ – температуры газа в начальном и конечном состояниях.

Массы m₁ и m₂ гелия найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:

m₁=p₁mV/RT₁,

m₂=μp₂V/RT₂.

Тогда масса гелия оставшегося в баллоне будет равна

Для давления (p) гелия, оставшегося в баллоне, будем иметь:

или

Численно

МПа.

Ответ: p=0,364 МПа.

13. Баллон содержит 80 г кислорода и 320 г аргона. Давление смеси 1МПа, температура 300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем баллона.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальные давления кислорода p₁ и аргона p₂ можно определить, воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона

p₁=m₁RT/(m₁V);

p₂=m₂RT/(m₂V).

По закону Дальтона, давление смеси газов

или

откуда объем баллона

Подставив численные значения, будем иметь:

×10^{-3 м3}.

Ответ: V=26,2×10^{-3 м3}.

14. Какое количество молекул находится в комнате объемом 80 м³ при температуре 17 ^oС и давлении 750 мм. рт. ст.?

Решение. Количество молекул N, содержащееся в комнате, можно определить, зная массу воздуха m,его молярную массу μ и число Авогадро N_А. Число молекул в одном киломоле газа равно числу Авогадро. А число киломолей содержащихся в массе m, определяется соотношением:

n=m/m.

Следовательно,

N=m/(mN_А).

Массу m содержащегося в комнате воздуха определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона

,

где p – давление воздуха;

V – объем;

R – универсальная газовая постоянная;

T – абсолютная температура (T=t+273);

m – масса воздуха.

Следовательно, для числа молекул воздуха имеем:

Подставляя все данные, предварительно выразив их в системе СИ, будем иметь

молекул.

Ответ: N=2×10²⁴ молекул.

15. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре T=350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой 4 г.

Решение. Согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы приходится энергия:

,

где k – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура.

Молекула кислорода двухатомная, поведение такой молекулы описывается 5-ю степенями свободы (три из них приписываются поступательному движению и две – вращательному).

Следовательно, кинетическая энергия вращательного движения молекулы кислорода может быть рассчитана по формуле:

<Wвр>=2×<Wк>=2×(1/2) kТ=kТ.

Энергия вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода, может быть определена как произведение числа молекул N на энергию одной молекулы: