Основы молекулярной физики и термодинамики 3 страница

31. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 К, 2) 900 К.

Решение. Распределение молекул по скоростям выражается законом Максвелла: число молекул DN, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u + Du:

где N – полное число молекул газа;

– функция распределения Максвелла;

u=v/v_в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v_в – наиболее вероятная скорость.

Закон распределения Максвелла оказывается справедливым при условии Du<u. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скорости, надо считать v=v_в. Следовательно, u=v/v_в=1 и вышенаписанное уравнение примет более простой вид:

.

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Du:

Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие Du<u. Так как u=v/v_в , то Du=Dv/v_в.

Чтобы вычислить Du, найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т=400 К и Т=900 К по формуле:

:

v_в1=2×8,31×400/0,002=1,82×10³ м/с,
v_в2=2×8,31×900/0,002=2,73×10³м/с.

Подставляя эти значения v_в и имея в виду, что Dv=10 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от v_в=-5,0 м/с до v_в=5,0 м/с, получим:

Du₁₌1/182, Du₂=1/273.

Так как u=1, видим, что условие Du<u выполняется для обеих температур.

Теперь найдем

DN₁/N=4/((3,14)^1/2×2,7×182)=0,0046,
DN₂/N=4/((3,14)^1/2×2,7×273)=0,0030.

Таким образом, при увеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается, а число молекул, скорости которых лежат в одном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается.

Ответ: DN₁/N=0,0046, DN₂/N=0,0030.

32. Какая часть молекул газа имеет скорости превышающие наиболее вероятную?

Решение. В условии задачи речь идет о молекулах, скорости которых заключены в интервале от наиболее вероятной скорости v до v+Dv, т.е. в бесконечно большом интервале скоростей. Таким образом, условие применимости закона распределения скоростей, заключающееся в том, что Du<u, или Dv<v, здесь не выполняется. Поэтому от уравнения в форме:

надо перейти к дифференциальной форме этого закона

Полное число DN молекул, относительные скорости которых лежат в заданном интервале от u₁ до u₂, найдем, интегрируя правую часть в этих пределах:

Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.

Учитывая, что относительная скорость u=v/v_в и что в нашей задаче v₁=v_в и v₂=4, получим: u₁=1, и u₂=¥. Следовательно, искомая часть молекул:

Чтобы избежать математических трудностей, связанных с нахождением неопределенного интеграла, воспользуемся тем очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до ¥. Поэтому, если обозначить через DN' число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т. е. лежат в интервале от 0 до 1, то можно записать:

.

Таким образом, вместо того, чтобы искать DN/N можно найти

,

а затем вычислить DN/N.

Так как зтот интеграл аналитически не вычисляется, то воспользуемся методом приближенного интегрирования. Для этого разложим подынтегральную функцию f(u)=exp(-u²)×u² в ряд Маклорена:

exp(-u²)=1-u²/1+u⁴/2-u⁶/6+u⁸/24-...
exp(-u²) u²=u²-u⁴/1+u⁶/2-u⁸/6+u¹⁰/24-...

Теперь, произведя интегрирование, имеем:

DN'/N=4(1/3-1/5+1/14-1/54+1/264...)/p^1/2.

Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем (с погрешностью, не превышающей 0,01):

DN'/N=0,43.

Тогда

DN/N=1-0,45=0,57.

Ответ: DN/N=0,57.

33. Найти число столкновений <z>, которые происходят в течение секунды между всеми молекулами, находящимися в объеме V=1,0 мм³ водорода при нормальных условиях. Принять для водорода d=2,3×10^{-10 м.}

Решение. Число столкновений <z>, испытываемых одной молекулой за одну секунду, определяется по формуле

<z>= 2 ^1/2pd²×n²×<v>×V/2,

где d – эффективный диаметр молекулы;

n – концентрация молекул;

<v>= – средняя арифметическая скорость молекул газа.

Чтобы установить соотношение между величинами <z> и <z>, учтем, что если умножить число столкновений одной молекулы за одну секунду на число всех молекул N, то получим результат, превышающий в два раза искомое число <z>. Действительно, в одном столкновении участвуют сразу две молекулы, поэтому в число <z>×N каждое столкновение входит дважды: один раз в счет столкновений одной из молекул данной пары, другой раз в счет столкновений второй молекулы. Следовательно, правильным будет выражение

<z>=<z>N/2=<z>nV/2,

где n=p/kT – концентрация молекул.

Подставив вместо <z>, n и <v> их значение, окончательно получим:

<z>=2 ^1/2pd²p²V(8R/pmT)^1/2/2k²T.

Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ, подставив их в формулу и выполнив вычисление, будем иметь

<z>=1,6×10²⁶ с^-1.

Ответ: <z>=1,6×10²⁶ с^-1.

34. Пылинки массой m=10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура} T воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К.

Решение. При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты y по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана

Так как в однородном поле силы тяжести U=mgy, то

По условию задачи, изменение Δn концентрации с высотой мало по сравнению с n (Dn/n=0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации n можно заменить дифференциалом dn.

Дифференцируя выражение по z, получим

Так как

,

то

dn=- mgndy/kT.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dy=- kT dn/mgn.

Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (dy>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0).

Знак минус опустим (в данном случае он несущественен) и заменим дифференциалы dy и dn конечными приращениями Dy и Dn:

Dy=kTDn/mgn.

Выразив входящие в формулу величины в системе СИ, подставив их в эту формулу, произведем вычисления

Dy=1,38×10^-23×300×0,01/10^-21×9,81=4,23×10^-3 м=4,23 мм.

Ответ: Dy=4,23×10^{-3 м.}

35. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t=5^oC до t=1 ^oC. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик? Давление p у поверхности Земли считать нормальным.

Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

.

Барометр может показывать неизменное давление p при различных температурах T₁ и T₂ за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h₁ (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h₂.

Запишем барометрическую формулу для двух случаев:

;

.

Найдем отношение p_o/p и обе части полученных равенств прологарифмируем:

Из полученных соотношений выразим высоты h₁ и h₁ и найдем их разность

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу длины:

Выразив величины в СИ, подставив их в полученную формулу, произведем вычисления:

Ответ: Δh=-28,5 м.

36. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <v> молекул и число <z> соударений, которые испытывает молекула в 1с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

,

где m – молярная масса вещества.

Среднее число <z> соударений молекулы в одну секунду определяется отношением средней скорости <v> молекулы к средней длине ее свободного пробега <l>:

Размерность полученных величин очевидна. Подставив значения входящих в формулы величин в СИ, будем иметь

<v>=362 м/с;
<z>=9,05×10⁹ с^-1.

Ответ: <v>=362 м/с; <z>=9,05×10⁹ с^-1.

37. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме неона и водорода, принимая газы за идеальные.

Решение. Между молярными и удельными теплоемкостями идеального газа при постоянном давлении и при постоянном объеме существует связь:

C_p=mc_p и Cv=mc_v,

где а

Таким образом, для удельных теплоемкостей имеем

а .

Зная, что неон одноатомный газ, то для него число степеней свободы i=3, m=20×10^-3 кг/моль, а водород двухатомный газ для него число степеней свободы i=5, m=27×10^-3 кг/моль. Подставляя в каждую из выше записанных формул значения числп степеней свободы и значение универсальной газовой постоянной, вычисляем удельные теплоемкости для:

1) неона

2) водорода

;

.

Ответ: 1)

2) ; .

38. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для кислорода.

Решение. Отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме идеального газа равно отношению его молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:

Зная, что молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме связаны с числом степеней свободы и равны:

и

Для отношения удельных теплоемкостей будем иметь

Кислород двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы i=5. Подставляя значение i в вышезаписанную формулу, имеем

Ответ: с_p/c_V=1,4.

39. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа равна 14,7 кДж/(кг×К). Найти молярную массу этого газа.

Решение. Известно, что удельная теплоемкость при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью газа:

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

где i – число степеней свободы газа.

Таким образом:

Откуда

Подставляя в полученную формулу значения величин данных в условии задачи, с учетом того, что для двухатомного газа i=5, будем иметь:

Ответ: μ=0,002 кг/моль.

40. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют w₁=80% и w₂=20% соответственно. Удельные теплоемкости для неона с_v=6,24×10² Дж/(кг×К), с_p=1,04×10³ Дж/(кг×К); для водорода – с_v=1,04×10⁴ Дж/(кг×К), с_p=1,46×10⁴ Дж/(кг×К).

Решение. В общем случае количество тепла необходимого для нагревания смеси газов, например, при нагревании в условиях постоянного объема от температуры Т₁ до температуры Т₂ равна:

где с_v(см) – удельная теплоемкость смеси;

(m₁+m₂) – масса смеси;

(T₂ -T₁) – изменение температуры.

С другой стороны это количество тепла может быть вычислено по формуле:

где Q₁ и Q₁ – соответственно количество тепла, которое необходимо сообщить,чтобы изменить температуру неона и водорода в отдельности;

с_v1 и с_v2 – удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме;

m₁ и m₂ – массы неона и водорода.

Таким образом, имеем:

или

.

Откуда

где и – массовые доли неона и водорода соответственно.

Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении, будем иметь:

Аналогично можно получить формулу для определения удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении:

.

Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении, будем иметь:

Ответ: ;

41. Кислород массой 2 кг занимает объем V₁=1 м³ и находится под давлением p₁=0,2 МПа (рис. 3.9). Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления p₃=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

ΔU=c_vmΔT,

где c_v=iR/2μ – удельная теплоемкость при постоянном объеме;

μ – молярная масса газа;

ΔТ=(Т₃-Т₁) – изменение температуры газа в конечном и начальном состояниях;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ).

Температуру газа в начальном и конечном состояниях можно определить из уравнения Менделеева–Клапейрона:

.

Для начальной температуры

.

Для конечной температуры

Тогда изменение внутренней энергии газа

Подставляя численные значения, будем иметь

Дж.

Ответ: ΔU=3,25 кДж.

42. Кислород массой 2 кг занимает объем V₁=1 м³ и находится под давлением p₁=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления p₃=0,5 МПа. Найти работу, совершенную газом, и теплоту, переданную газу (рис. 3.9).

Решение. Из уравнения Менделеева-Клапейрона

можно определить температуры, характерные для соответствующих состояний:

.

Таким образом, температура газа в начальном состоянии

T₁=p₁V₁m/mR;

в промежуточном

T₂₌p₂V₂m/mR;

в конечном

T₃=p₃V₃ m/mR.

В процессе перехода газ совершал работу

A=A₁+A₂,

где A₁ – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления;

A₂ – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема.

Работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления определяется соотношением:

а работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема т.к. DV=0.

Таким образом, в данном случае

Количество тепла, переданного газу равно сумме изменения его внутренней энергии и работы, совершенной им:

Известно, что изменение внутренней энергии газа пропорционально изменению его температуры, при этом

.

Следовательно, для изменения внутренней энергии газа при его переходе из начального в конечное состояние, имеем:

где DТ=T₃–T₁.

Таким образом, для количества тепла переданного газу имеем:

Подставив численные значения величин, будем иметь:

Т₁=0,2×10⁶×1×32×10^–3/(8,31×10³×2)=385 К;
Т₂=0,2×10⁶×3×32×10^–3/(8,31×10³×2)=1155 К;
Т₃=0,5×10⁶×3×32×10^–3/(8,31×10³×2)=2888 К;
DU=5×2×8,31×(2888–385)/(2×32×10^–3)=3,25×10³ Дж;
A=2×8,31×(1155–385)/32×10^–3=0,4×10³ Дж;
Q=3,25×10³+0,4×10³=3,65×10³ Дж.

Ответ: A=Дж; Q=3,65×10³ Дж.

43. Масса 10 г кислорода находится под давлением 0,3 МПа и при температуре 10 ^oС. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем V₂=10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа W до и после нагревания.

Решение. Количество теплоты Q, полученное газом в процессе нагревания

где – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении;

i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ);

R=8,31 Дж/(моль×К) – универсальная газовая постоянная;

m=0,032 кг/моль – молекулярная масса кислорода;

T₁ и T₂ – температуры газа в начальном и конечном состояниях. Для определения температуры газа в конечном состоянии воспользуемся соотношением между температурой и объемом газа, нагреваемого в условиях постоянного давления:

.

Откуда

Воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона, записанным в виде

находим объем газа в начальном состоянии:

Для конечной температуры будем иметь соотношение:

Подставляя численные значения, определяем конечную температуру газа:

Подставляя численные значения, находим количество теплоты, полученное газом в процессе нагревания:

Энергию теплового движения молекул газа можно определить по формуле

где C_V=iR/2 – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Таким образом, для энергии теплового движения молекул газа в начальном состоянии имеем:

в конечном состоянии

.

Ответ:Q=7,9 кДж; W₁=1,8 кДж; W₂=7,6 кДж.

44. Масса 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V=2 л при температуре t=10 ^oС. После нагревания давление в сосуде стало равным p₂=1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?

Решение. Так как объем газа не изменился, то сообщенное ему количество теплоты пошло на изменение его внутренней энергии Q=DU, которое в свою очередь можно определить так:

DU=mC_V(T₂–T₁)/m=mC_VΔT/m,

где Cv=iR/2 – молярная теплоемкость азота при постоянном объеме.

Следовательно,

DU=miR(T₂–T₁)/2m.

Для определения конечной температуры T воспользуемся тем, что при нагревании газа в условиях постоянного объема отношение давлений пропорционально отношению его температур в начальном и конечном состояниях

p₁/p₂=T₁/T₂.

Имеем

T₂=T₁p₂/p₁.

Начальное давление определяем из уравнения Менделеева–Клапейрона, записанного для первоначального состояния:

p₁V₁=mRT₁/m.
p₁=mRT₁/mV₁.

Так как по условию задачи V₁=V, то для конечной температуры имеем:

T₂₌mp₂V/mR.

Подставляя значение T₂ в формулу изменения внутренней энергии, которое равно количеству тепла, сообщенному газу, окончательно получим:

Q=imR(mp₂V/mR-T₁)/2m.

Размерность полученного результата очевидна. Численное значение Q равно

=4,13 кДж.

Ответ: Q=4,13 кДж.

45. Баллон с кислородом емкостью V=20 л при давлении p=100 ат и температуре t=7 ^oС нагревается до t=27 ^oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ?

Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным.

При изохорных процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии.

Из определения молярной теплоемкости следует, что элементарное количество теплоты, сообщенное телу при повышении его температуры на dT, равно: