Методом Мора
Это универсальный метод, который заключается в использовании известной теоремы Мора о равенстве возможной работы внешних и внутренних сил и используется для определения линейных перемещений и углов поворота в любой стержневой системе от произвольной нагрузки. Метод широко применяется и при расчете статически неопределимых систем.
Пусть 1-е (грузовое) состояние представляет собой нагруженную стержневую систему заданной нагрузкой, а 2-е (единичное) состояние вызвано единичной нагрузкой Р = 1, действующей в направлении искомого перемещения. Тогда в соответствии с указанной выше теоремой получаем выражение, которое называют интегралом Мора (13)
(4.1)
где: D ¾ искомое перемещение; Мр, Qp, Np ¾ внутренние усилия в стержневой системе, вызванные заданной внешней нагрузкой; М 1, Q 1, N 1 ¾ внутренние усилия в стержневой системе, вызванные единичной нагрузкой, приложенной по направлению искомого перемещения в той точке (сечении), где определяется перемещение (при нахождении линейного перемещения прикладывается единичная сила Р = 1, при вычислении угла поворота прикладывается единичный момент m = 1); EI, EA, GA ¾ жесткости при изгибе, растяжении (сжатии) и сдвиге соответственно; m ¾ поправочный коэффициент, учитывающий распределение касательных напряжений в поперечном сечении; l ¾ длина участка.
Суммирование производится по всем участкам стержневой конструкции.
При расчете балок средней и большой длины и рамных конструкций влиянием продольной и поперечной сил (вторым и третьим членами формулы (4,1)) можно пренебречь в силу их малого влияния на деформации изгиба. В этом случае интеграл Мора примет вид:
(4.2)
При расчете стержней, работающих только на растяжение (сжатие), и ферм в (4,1) останется только второй интеграл.
(4.3)
В конструкциях, испытывающих значительные поперечные силы (например, в коротких балках), необходимо учитывать влияние поперечных сил.
|
Пример 4.2. Вычислить прогиб и угол поворота свободного конца консоли (т. В) (рис. 4.9) от действия распределенной нагрузки.
Решение. 1. В данной задаче один участок. Запишем для него выражение изгибающего момента в грузовом состоянии (рис. 4.9, а):
2. Для вычисления прогиба свободного конца (т. В) прикладываем в этой точке единичную силу Р = 1, т. е. создаем 1-е единичное состояние (рис. 4.9, б) и записываем выражение для единичного момента
3. Записываем и вычисляем интеграл Мора, используя выражение (4.2):
Знак «+» у D говорит о том, что перемещение происходит по направлению единичной силы Р =1.
4. Для вычисления угла поворота прикладываем в заданном сечении (т. В) единичный момент (рис. 4.9, в) и записываем выражение для единичного момента М 2 на данном участке:
М 2 = m = 1.
5. Вычисляем интеграл Мора при 2-м единичном нагружении:
Знак «минус» говорит о том, что перемещение (поворот сечения С) происходит против направления единичного момента m = 1, т. е. по часовой стрелке.
|
Пример 4.3. Определить вертикальное перемещение 3 узла фермы от заданной нагрузки (рис. 4.10). Жесткость стержней ЕА = const.
Решение. Для определения перемещений в данной стержневой системе необходимо воспользоваться формулой Мора в виде:
(5.3)
1. Определяем усилия в стержнях фермы Np от заданной нагрузки. (рис. 4.10, а). Вначале определим реакции. В силу симметрии:
RA = RB = 1.5 P= 9 кН.
Вырезая узел 1 и узел 5 можно увидеть, что
N 12 = N 56 = - 1.5 P = - 9 кН,
N 13 = N 35 = 0.
Вырезая узел 4 получим N 34 = P.
|
Далее, вырежем узел 2 (рис. 5.3). (sina = 0.6, cosa = 0.8)
S y = 0,
- P – N 12 – N 23sina = 0.
S x = 0
N 24 + N 23cosa = 0. N 24 = - 5 ∙ 0.8 = - 4 кН.
В силу симметрии N 36 = N 23 = 5 кН, N 46 = N 24 = - 4 кН.
2. Определяем усилия в стержнях фермы 
от единичной нагрузки, действующей в направлении искомого перемещения (рис 4.10,б). Определяем реакции.
RA = RB = 0.5 P= 0, 5.
Вырезая узел 1 и узел 5 получим
N 12 = N 56 = 0,5, N 13 = N 35 = 0.
Вырезая узел 4 получим N34 = 0.
|
Рассмотрим равновесие узла 2 (рис. 5.4).
S y = 0, – N 12 – N 23sina = 0.
, S x = 0, N 24 + N 23cosa = 0.
N 24 = 
.
В силу симметрии N 36 = N 23 = 5 кН, N 46 = N 24 = - 4 кН.
Для вычисления по формуле (4.3) удобно полученные значения усилий свести в таблицу.
| № стержня | Np (кН) |
| li | Np∙ ∙ li
|
| 1-2 | - 9 | - 0,5 | 1.5 | 6,75 |
| 1-3 | ||||
| 2-3 | 5/6 | 2.5 | 10.42 | |
| 2-4 | - 4 | - 4/6 | 5.33 | |
| 3-4 | - 6 | 1.5 | ||
| 3-5 | ||||
| 3-6 | 5/6 | 2.5 | 10.42 | |
| 4-6 | - 4 | - 4/6 | 5.33 | |
| 5-6 | - 9 | - 0,5 | 1.5 | 6,75 |
| S | 45.01 |
Таким образом, узел 3 опускается вниз на величину D3 = 45.01/ EA.
Обычно, в зависимости от нагрузки и условий опирания, стержневую систему приходится разбивать на несколько участков, и интегрирование по формуле (4.2) необходимо проводить на каждом участке, что становится весьма трудоемким. В этом случае удобно использовать правило Верещагина для вычисления интеграла Мора (4.4).
. (4,4)
Оно заключается в следующем: если построить грузовую и единичную эпюры Мр и М 1 (рис. 4,13), то результат их «перемножения» (вычисления интеграла) на отдельном участке равен произведению площади грузовой эпюры w p на ординату единичной эпюры ус, взятую под центром тяжести площади грузовой эпюры. При выводе этой формулы было учтено, что единичная эпюра всегда линейна.
Действительно, при EI = const интеграл S можно представить как (рис. 4.13)
S = 
.
Ординату у 2 можно выразить через абсциссу х: у 2 = х∙ tga,
тогда
S = 
.
Учитывая, что 
можно записать
S = 
Интеграл 
- статический момент площади эпюры Мр относительно точки О и равен площади этой эпюры, умноженной на координату х 0, т. е.
S = tgα∙w р∙x 0. В свою очередь, х 0tga = yc. Следовательно, интеграл S равен
S = w∙ ус
Рассмотренное выше правило перемножения эпюр было дано А. Верещагиным в 1925 г.
В том случае, когда обе эпюры прямолинейны (рис. 4.14) формулу (4.2) можно представить в виде
. (4.5)
Формула (4.5) получена еще в 1905 г. Мюллером-Бреслау.
В тех случаях, когда определение положения центра тяжести и площади грузовой эпюры приводит к громоздким вычислениям, проще для «перемножения» эпюр воспользоваться формулой Симпсона (4.6):
, (4.6)
здесь a, b, c, d ¾ ординаты на грузовой и единичной эпюрах в начале и конце участка длиной l (рис. 4,15); e, f ¾ ординаты в середине участка.
|
Пример 4.4 Для заданной балки (рис. 4.16, а) вычислить прогиб в сечении C и угол поворота сечения В. При определении деформаций воспользоваться методом Мора.
Решение. Для вычисления заданных деформаций необходимо построить эпюры изгибающих моментов в грузовом Мр и единичных М 1 и М 2 состояниях.
1. Грузовое состояние. Запишем выражение для Мр
Mx= 0 = 0, 
Эпюра Мр показана на рис. 4.16, б.
2. Создаем 1-е единичное состояние - прикладываем в сечении С единичную силу (рис. 4.16, в) и строим первую единичную эпюру М 1 (рис. 4.16, г).
3. Для определения прогиба в сечении С перемножаем эпюры Мр и М 1 по правилу Симпсона (4,6). Поскольку единичная эпюра имеет два участка перемножение эпюр производим на каждом участке (в силу симметрии эпюр результат умножаем на 2).
4. Создаем 2-е единичное состояние - прикладываем в сечении В единичный момент (рис. 4.16, д) и строим вторую единичную эпюру М 2 (рис. 4.16, е).
5. Перемножаем эпюры Мр и М 2
При перемножении поставлен знак минус, поскольку ординаты грузовой и второй единичной эпюр отложены в разные стороны. Минус у перемещения означает, что поворот сечения В происходит в направлении, обратном направлению единичного момента, т. е. против часовой стрелки.
Пример 4.5 Для заданной балки (рис. 4.17, а) вычислить прогибы в сечениях С и D, показать вид изогнутой линии. При определении деформаций воспользоваться методом Мора.
Решение. Для определения деформаций в заданных сечениях необходимо построить грузовую эпюру М от заданной нагрузки Р и q, а также единичные эпюры Мi, полученные от воздействия на балку соответствующих единичных нагрузок Рi.
Не останавливаясь на порядке построения грузовых эпюр М и Q, покажем их в окончательном виде (рис. 4.17, б). Для построения единичных эпюр создаем единичные состояния (заданная балка нагружается только соответствующей единичной силой, приложенной в том сечении, в котором определяется перемещение). В соответствии с правилами строим эпюры М 1 от силы Р 1=1, приложенной в точке С, и М 2 от силы Р 2=1, приложенной в точке D. На рисунке единичные состояния и соответствующие единичные эпюры совмещены (рис. 4.17, в и г).
Перемножение эпюр производим по правилу Симпсона:
При вычислении уd перемножение эпюр на участке DА производим по правилу Верещагина (4.4), на участке АВ ¾ по формуле Симпсона (4.6).
На рисунке рис. 4.17, д показана изогнутая ось балки, соответствующая вычисленным перемещениям и эпюре Мр .
Пример 4.6 Вычислить горизонтальное перемещение узла D в трехшарнирной раме постоянной жесткости (рис. 4.18, а). Воспользуемся методом Мора.
|
Решение. 1. Строим грузовую эпюру Мр для грузового состояния(рис. 4.18, б). Вначале необходимо определить опорные реакции, для чего записываем соответствующие уравнения равновесия.
S mA = 0, - P ∙3 + RB ∙3 = 0, RB = 10 кН.
S mС пр= 0, - НВ ∙3 + RB ∙1 = 0, НB = 10/3 кН.
S mВ = 0, - P ∙3 + RА ∙3 = 0, RА = 10 кН.
S mС лев = 0, - НА ∙3 + RА ∙2 = 0, НА = 20/3 кН.
Проверка: S х = 0.
При построении эпюры Мр используем методику построения эпюр в ломаном стержне
2. Строим единичную эпюру моментов М 1 от действия горизонтальной единичной силы, приложенной в узле D (рис. 4.19, а).
S mA = 0, - P ∙3 + RB ∙3 = 0, RB = 1.
S mС пр= 0, - НВ ∙3 + RB ∙1 = 0, НB = 1/3 кН.
S mВ = 0, - P ∙3 + RА ∙3 = 0, RА = 1 кН.
S mС лев = 0, - НА ∙3 + RА ∙2 = 0, НА = 2/3 кН.
Эпюра М 1 показана на рис. 5.11, б.
|
В связи с простым очертанием эпюр Мр и М 1 перемножение эпюр на стойках производим по правилу Верещагина, а в ригеле по правилу Симпсона
Если принять, что жесткость ригеля больше жесткости стоек
(пусть EI р = 4 EI ст ), то:
Увеличение жесткости ригеля в 4 раза привело к уменьшению перемещения узла D на 28,3%.
Представленные выше примеры показывают, что метод Мора достаточно прост для определения перемещений в заданных сечениях в любых стержневых системах.
5. Список рекомендуемой литературы
1. Саргсян А. Е. и др. Строительная механика. М.: Высш. шк., 2000. 416 с.
2. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. М.: Высш. шк., 1986. 607 с.
3. Смирнов А. В., Иванов С. А., Тихонов М. А. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1984. 210 с.
4.Снитко Н. К. Строительная механика. М. Высш. шк. 1972. 488 с.
5. Киселев В. А. Строительная механика. Общий курс. М.: Стройиздат, 1986. 520 с.
6. Леонтьев Н. Н., Соболев Д. Н., Амосов А. А. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Изд. АСВ, 1996. 541 с.
7. Варданян Г. С. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Изд. АСВ, 1995. 572 с.
8. Сесюнин Н. А. и.др. Примеры решения типовых задач по строительной механике. Методические указания. М., Изд. МГОУ, 1993, 116 с.
Приложения
Общие указания о порядке выполнения
расчетно-графических работ
Перечень расчетно-графических работ и контрольная работа по расчету рам установлены рабочей программой курса «Строительная механика».
Исходные данные для выполнения работ выбираются студентом из таблиц в соответствии с его личным шифром (номером зачетной книжки). Шифром считаются три последние цифры, например, если номер зачетной книжки 2071256, то шифр для выбора варианта 256. Работы, выполненные не по шифру и не в соответствии с таблицами, не защитываются и возвращаются без рассмотрения.
Каждая работа должна выполняться на одной стороне листа формата А4 (210х297), с размещением на них всех чертежей и необходимых расчетов с указанием порядка выполнения задания.
Перед решением каждой задачи необходимо вычертить расчетную схему и указать на ней все размеры и нагрузки в числах. Все расчетные схемы, эпюры и линии влияния должны быть выполнены в масштабе с указанием всех характерных ординат и размерностей.
Перед сдачей работы оформляется титульный лист в соответствии с принятыми требованиями, на котором указывается название вуза, кафедры, работы, Ф. И. О. студента, шифр учебной группы и фамилия принимающего преподавателя.
РГР № 1
