Неподвижную и подвижную нагрузки

Многопролетные статически определимые балки представляют собой протяженные балочные конструкции, перекрывающие несколько пролетов и состоящие из простых балок, соединенных между собой шарнирами (рис. 1.14).

Особенность расчета подобных стержневых конструкций заключается в расчленении многопролетной балки в шарнирных соединениях на отдельные простые балки, расчет которых осуществляется по методам сопротивления материалов.

В этом случае составляется поэтажная схема балки, в которой определяются основная (несущая) и вспомогательные балки, опирающиеся на несущую балку, имеющую три связи с землей.

На рис. 1.15, а показана поэтажная схема многопролетной балки, приведенной на рис. 1.14, а. Несущей балкой здесь является балка АС, которая остается неподвижной при удалении других вспомогательных балок СЕ и ЕF.

Статический расчет (расчет на неподвижную нагрузку) начинается с верхней балки. Следующая вспомогательная балка рассматривается под воздействием своей внешней нагрузки и реакции в опорном шарнире и т. д.

Верхняя балка ЕF нагружена активной силой Р, следующая балка СЕ нагружена только реакцией R_е, возникающей в шарнире Е. Аналогично, балка АС будет нагружена только реакцией R_с.

При расчете на подвижную нагрузку наиболее удобным способом построения линий влияния в многопролетных балках является кинематический способ. В качестве иллюстрации на рис. 1.16 приведены линии влияния реакции R_А, поперечных сил и моментов в сечении «n» справа от опоры D.

Пример 1. 2. Для заданной статически определимой многопролетной балки (рис. 1.17, а) необходимо, используя поэтажную схему балки, построить эпюры внутренних усилий. Построить линии влияния реакций R_A и R_B, линии влияния М и Q в сечениях n (слева от опоры В) и в сечении m. Вычислить по ним внутренние усилия и сравнить со значениями, полученными при построении эпюр.

Решение. 1. Для построения поэтажной схемы многопролетной балки проводим анализ заданной стержневой системы., которая состоит их двух простых балок АС и СD. Балка АС, имеющая три связи с землей, является основной (несущей), а балки СD - вспомогательная. В соответствии с этим и строим поэтажную схему (рис. 1.17, б).

2. Для статического расчета - построения эпюр внутренних усилий - рассмотрим каждую балку. Начинаем расчет с верхней вспомогательной балки СD (рис. 1.18). Определяем опорные реакции.

S m_D = 0, - q∙ 4∙1- R_c∙ 3= 0,

R_C = 40/3 кН.

S m_C = 0, - R_d∙ 3+ q∙ 4∙2= 0.

R_D = 80/3 кН.

Проверка: S y = 0.

R_D - q ∙4+ R_C = 80/3 - 40 + 40/3 = 0.

Вычисляем по участкам внутренние усилия.

1 -й участок. 0 < x ₁ < 1 м.

Q ₁ = q ∙ x ₁ Q_{x =0} = 0, Q_{x =1} = 10 кН.

M ₁ = - q ∙ x ₁²/2, M_{x =0} = 0, M_{x =1} = 5 кН×м,

M_{x =0.5} = 1.25 кН×м

2-й участок. 0< x ₂<3 м.

Q ₂ = R_C - q ∙ x ₂, Q_{x =0} = 13.3 кН, Q_{x =3} = - 16,7 кН, Q_m = Q_{x =1} = 3.33 кН;

M ₂ = R ∙ _сx ₂ - q ∙ x ₂²/2, М_{х =0} = 0, М_{х =3} = - 5 кН×м.

На участке CD поперечная сила Q меняет знак. Q ₂ = R_c - q ∙ x ₀ = 0,

х ₀ = R_c/q = 1.33 м и

М_{х =1,33} = 13,3∙1,33 - 10∙1,33∙0,67 = 8,89 кН×м.

М_m = М_{х =1} = 13,3∙1 - 10∙1∙0,5 = 8,3 кН×м

По полученным значениям строим эпюры М и Q для балки DЕ (рис. 1.18).

Рассмотрим теперь балку AC (рис. 1.19), которая находится под воздействием реакции со стороны балки CD R_С. Реакция R_С должна быть направлена в сторону, обратную направлению этой же реакции, приложенной к балке CD, поскольку при совмещении балок в шарнире C эти реакции должны быть взаимно уравновешены. Проводим статический расчет балки AC.

Определяем опорные реакции.

S m_A = 0. R_В∙ 2– R_С∙ 4= 0.

R_В = 80/3 = 26.7 кН.

S m_B = 0. – R_С∙ 2+ R_А∙ 2= 0.

R_А = 13.3 кН.

Проверка реакций. S y =0.

- R_А + R_В - R_С = - 13.3 + 26,7 - 13.3 = 0.

Вычисляем по участкам внутренние усилия.

3-й участок. 0 < x ₃ < 2 м.

Q ₃ = R_c 13.3 кН.

M ₃ = - R_cx ₃. М_{х =0} = 0, М_{х =2} = - 26,7 кН×м.

4-й участок. 0 < x ₄ < 2 м.

Q ₄ = - R_А = - 13.3 кН.

M ₄ = - R_Аx ₄, М_{х =0} = 0, М_{х =2} = - 26,7 кН×м.

По полученным значениям строим эпюры Q и М в простой балке (рис. 1.19).

Совместим все построенные эпюры внутренних усилий вдоль многопролетной балки в едином масштабе (рис. 1.17, в, г) и проведем окончательную проверку на соответствие их заданной нагрузке.

3. Строим линии влияния двух реакций R_А и R_С и поперечной силы и изгибающего момента для сечений m и n. Построение линий влияния будем проводить кинематическим способом (рис. 1.20).

Так, при построении линии влияния реакции R_А убираем связь, препятствующую вертикальному смещению опоры, и даем единичное смещение этой опоры по направлению R_А. Это единичное перемещение приведет к повороту консольной балки АС вокруг опоры В. Шарнир С опустится вниз и повернет балку СD вокруг опоры D Полученная в результате схема перемещений и дает вид линии влияния этой реакции. Аналогично получена линия влияния R_С путем вертикального смещения опоры С вверх на единицу.

При построении линий влияния Q и М необходимо убрать связи, воспринимающие поперечную силу и изгибающий момент. То есть, для построения линии влияния Q в сечении n нам необходимо в этом сечении дать торцам взаимное вертикальное смещение на единицу. Отметим, что если торцы стержней параллельны, то параллельны друг другу левый и правый стержни целиком. Аналогично поступаем и с сечением m при построении линии влияния Q_m.

Врезав поочередно в сечениях n и m шарниры и задав единичное угловое смещение получаем эпюры возможных перемещений, дающих вид линий влияния М_m и М_n (рис. 1.20).

4. Подсчитаем значения внутренних усилий в заданных сечениях по линиям влияния. Для этого нам необходимо интенсивность распределенной нагрузки q умножить на площадь, очерченную линией влияния под нагрузкой. При перемножении используем следующие правила знаков: нагрузки, направленные вниз и ординаты линий влияния и площади, расположенные выше осевой линии - положительны.

Q_m = q∙ (- 0,5∙1∙1/3 + 0,5∙2∙2/3) = 10 ∙ (-1/6 + 2/3)= 3.33 кН,

М_n = q∙ (- 0,5×2×3 + 0.5×1×2/3) = 10 ∙ (-3 + 1/3)= - 26.7 кН×м.

Q_n = q∙ (- 0,5∙1∙3 + 0,5∙1∙1/3) = 10 ∙ (-3/2 + 1/6)= - 13.3 кН,

M_m = q∙ (0,5×2/3∙3 - 0.5×1×1/3) = 10 ∙ (1 - 1/6)= 8.3 кН×м.

Значения внутренних усилий, полученные по линиям влияния, совпадают со значениями расчета на постоянную нагрузку.

Пример 1.3. Для заданной статически определимой многопролетной балки (рис. 1.21, а) необходимо, используя поэтажную схему балки, построить эпюры внутренних усилий. Построить линии влияния двух опорных реакций и линии влияния М и Q в сечениях m и n. Вычислить по ним внутренние усилия и сравнить со значениями, полученными при построении эпюр. В расчетах принять d = 1,5 м, Р = 45 кН, q = 6 кН/м.

Решение. 1. Для построения поэтажной схемы многопролетной балки проводим анализ заданной стержневой системы, которая состоит их трех простых балок АВ, ВD и DЕ. При этом видно, что консольная балка АВ, имеющая три связи с землей, является основной (несущей), а балки ВD и DЕ - вспомогательными. В соответствии с этим и строим поэтажную схему, представив балку АВ как опорную (рис. 1.8, б).

2. Для статического расчета - построения эпюр внутренних усилий - рассмотрим каждую балку отдельно. Начинаем расчет с верхней вспомогательной балки DЕ (рис. 1.22). Определяем опорные реакции.

S m_D = 0, - P∙ 2 d + R_E∙ 3 d = 0, R_E = 30 кН.

S m_E =0, - R_D∙ 3 d + P∙d = 0. R_D = 15 кН.

Проверка:

S y = 0. R_D - P + R_E =15 - 45 + 30 = 0.

Вычисляем по участкам внутренние усилия.

1 -й участок. 0 < x ₁ < 1,5 м.

Q ₁ = - R_е, Q_{x =0} = Q_{x =1,5} = - 30 кН.

M ₁ = R_ex ₁, M_{x =0} = 0, M_{x =1,5} = 45 кН×м.

2-й участок. 0 < x ₂ <3 м.

Q ₂ = R_D, Q_{x =0} = Q_{x =3} = 15 кН;

M ₂ = R_dx ₂, М_{х =0} = 0, М_{х =3} = 45 кН×м.

По полученным значениям строим эпюры М и Q для балки DЕ (рис. 1.22).

Рассмотрим теперь балку ВD (рис. 1.23), которая находится под воздействием реакции со стороны балки DE R_D. Реакция R_D должна быть направлена в сторону, обратную направлению этой же реакции, приложенной к балке DЕ, поскольку при совмещении балок в шарнире D эти реакции должны быть взаимно уравновешены. Проводим статический расчет балки ВD.

S m_B = 0. R_C∙ 2 d – R_D∙ 3 d = 0.

R_C = 22,5 кН.

S m_С = 0. – R_B∙ 2 d – R_D∙d = 0.

R_B = - 7,5 кН.

Знак минус у реакции R_B означает, что она направлена в обратную сторону. Направим ее вниз, зачеркнув первоначально выбранное направление и в дальнейших расчетах значение реакции R_B будем принимать положительным.

Проверка реакций. S y =0.

- R_B + R_C - R_D = - 7,5 + 22,5 - 15 = 0.

Вычисляем по участкам внутренние усилия.

3-й участок. 0< x ₃<1,5 м.

Q ₃ = R_D, Q_{x =0} = Q_{x =1,5} = 15 кН.

M ₃ = - R_Dx ₃. М_{х =0} = 0, М_{х =3} = - 22,5 кН×м.

4-й участок. 0 < x ₄ < 3 м.

Q ₄ = - R_B, Q_{x =0} = Q_{x =3} = - 21,5 кН.

M ₄ = - R_Bx ₄, М_{х =0} = 0, М_{х =3} = - 22,5 кН×м.

По полученным значениям строим эпюры Q и М во второй простой балке (рис. 1.23).

Консольная балка АВ нагружена распределенной нагрузкой и реакцией R_B со стороны балки ВD, направленной вверх (рис. 1.24). В данном случае при вычислении внутренних усилий можно обойтись без определения реакций, рассматривая правую часть балки.

5-й участок. 0 < x ₅ < 6 м.

Q ₅ = q∙x ₅ - R_B,

Q_{x =0} = - 7, ∙ 5 кН, Q_{x =6} = 28,5 кН,

M ₅ = R_B∙x ₅ - q∙x ²/2,

М_{х =0}=0, М_{х =3}=-4,5 кН×м,

М_{х =6}=-63 кН×м.

Поскольку Q на 5-м участке меняет знак, найдем координату х ₀, при которой:

Q ₅ = q∙x ₀ - R_B = 0,

тогда х ₀ = 7,5/6 = 1,25 м.

М _{х =1,25} = 4,7 кН×м.

Эпюры М и Q для основной балки показаны на рис. 1.24.

Совместим все построенные эпюры внутренних усилий вдоль многопролетной балки в едином масштабе (рис. 1.21, в, г) и проведем окончательную проверку на соответствие их заданной нагрузке.

3. Строим линии влияния двух реакций R_A и R_C и поперечной силы и изгибающего момента для сечений m и n (рис. 1 25). Построение линий влияния будем проводить кинематическим способом.

Так, при построении линии влияния реакции вертикальной R_А убираем связь, препятствующую вертикальному смещению опоры, и даем единичное смещение этой опоры по направлению R_А. Поскольку опора А – заделка, которая при воздействии малой поперечной силы не перемещается, то единичное перемещение приведет к перемещению консольной балки АВ параллельно самой себе. Полученная в результате схема перемещений и дает вид линии влияния этой реакции R_А. Аналогично получена линия влияния R_С путем вертикального смещения опоры С на единицу (рис. 1.25,в).

При построении линий влияния Q и М необходимо убрать связи, воспринимающие поперечную силу и изгибающий момент. То есть для построения линии влияния Q в сечении m нам необходимо в этом сечении дать торцам взаимное вертикальное смещение на единицу (рис. 1.25, г). Отметим, что если торцы стержней параллельны, то параллельны друг другу левый и правый стержни целиком. Аналогично поступаем и с сечением n при построении линии влияния Q_n (рис. 1.25, е)

Врезав поочередно в сечениях m и n шарниры и задав единичное угловое смещение получаем эпюры возможных перемещений, дающих вид линий влияния М_m и М_n (рис. 1.25, д, ж).

4. Подсчитаем значения внутренних усилий в заданных сечениях по линиям влияния. Для этого нам необходимо силу Р умножать на ординаты соответствующих линий влияния, а интенсивность распределенной нагрузки q на площадь, очерченную линией влияния под нагрузкой q. При перемножении используем следующие правила знаков: нагрузки, направленные вниз, ординаты линий влияния и площади, расположенные выше осевой линии - положительны.

Q_m = - P∙ 0,167 + q∙ 12 d = - 7,5 + 18 = 10,5 кН,

М_m = Р∙d /3 - q (0,5×2 d ×2 d) = 22,5 - 27 = - 4,5 кН×м.

Q_n = - P∙ 2/3 = - 30 кН (Сила Р находится слева от сечения n, поэтому умножили ее на левую ординату л.в. Q_n).

M_n = P∙ 2 d /3 = 45 кН×м.

Значения внутренних усилий, полученные по линиям влияния, совпадают со значениями расчета на постоянную нагрузку.