Аналитический расчет трехшарнирной арки

Определение опорных реакций

При действии внешней нагрузки на трехшарнирную арку (рис. 3.3) в каждой ее опоре возникает по две реакции. Всего, таким образом, имеется четыре неизвестные реакции – две вертикальные R_A, R_B и две горизонтальные Н_A и Н_B. Для расчета трехшарнирной арки кроме трех уравнений равновесия, которые дает статика для системы сил, расположенной в одной плоскости, можно составить четвертое уравнение, основанное на том, что сумма моментов всех сил, приложенных по одну сторону от ключевого шарнира С, равна нулю. Действительно, это уравнение для изгибающего момента в поперечном сечении, а в шарнире момент отсутствует.

Для трехшарнирной арки (рис. 3.3) при определении реакций будут записаны следующие уравнения:

S m_B = 0, - R_Al + P ₁(l – a ₁) + P ₂ a ₂ = 0, (а)

R_A = [ P ₁(l – a ₁) + P ₂ a ₂]/ l.

S m_A = 0, R_Bl – P ₁ a ₁ – P ₂(l – a ₂) = 0, (б)

R_B = [ P ₁ a ₁ + P ₂(l – a ₂)]/ l.

Уравнения (а) и (б) для вычисления вертикальных реакций имеют тот же вид, что и уравнения в балочной системе. Для вычисления распора запишем следующие уравнения:

S x = 0, H_A – H_B = 0, H_A = H_B = H.

S m_C ^пр = 0, R_Bl ₂ – P ₂(l ₂ – a ₂) – H_Bf = 0, (в)

H_B = H = [ R_Bl ₂ – P ₂(l ₂ – a ₂)]/ f, или:

(3.1)

В выражении (3.1) М_С ^бал представляет собой изгибающий момент в сечении С в балке, перекрывающей тот же пролет и воспринимающей заданную на трехшарнирную арку вертикальную нагрузку (рис. 3.3). Из формулы (3.1) следует, что величина распора Н обратно пропорциональна стреле подъема арки f.

 

Определение внутренних усилий в арке

от вертикальной нагрузки

При действии на арку только вертикальных нагрузок (рис. 3.4, а) изгибающий момент в сечении с абсциссой х равен:

M_x = R_Ax – P ₁(x - a ₁) – P ₂(x - a ₂) – Hy,

или:

М_x = M_x ^бал - H ∙ y, (3.2)

где М_х ^бал — изгибающий момент в балке (рис. 3.4, б) от той же нагрузки в сечении с абсциссой х (так называемый балочный момент). Формулой (3.2) удобно пользоваться при построении эпюры моментов в арке. Значения М_х ^бал непосредственно берут из эпюры моментов, построенной для балки. Величину распора находят по формуле (3.1).

Полученная формула для М_х наглядно показывает уменьшение изгибающего момента в арке по сравнению с балкой, что подтверждает экономичность арочной конструкции по сравнению с балочной. Это видно из построений на рис. 3.4, г, где показано совмещение балочной эпюры моментов и кривой, соответствующей слагаемому Н∙у в формуле (3.1). На рис. 3.4, д показан вид эпюры моментов М_х в арке.

Аналогичные формулы можно получить для поперечной Q_x и продольной N_x сил. Для этого спроецируем все приложенные слева от сечения n – n силы (рис. 3. 4, в) сначала на нормаль к оси арки в сечении с абсциссой х, а затем на касательную к ней:

 

Q_x = (R_A – P ₁ – P ₂)cosj _x – H sinj _x,

N_x = + (R_A – P ₁ – P ₂)sinj _x + H cosj _x.

Нетрудно убедиться, что величина, стоящая в круглых скобках в записанных выше выражениях, представляет собой величину поперечной силы в балке в сечении с той же абсциссой х; тогда эти формулы примут вид:

Q_x = Q_x ^бал cosj _x - Н sinj _x, (3.3)

N_x = Q_x ^бал sinj _x + H cosj _x. (3.4)

Отметим, что в арке принято считать N > 0 при сжатии.

Рациональная ось арки

Из формулы (3.2) следует, что в том случае, когда очертание оси арки совпадает с очертаниями балочной эпюры моментов М ^бал, называемой кривой давления, т. е. если

(3.5)

то в такой арке изгибающий момент М_х = 0.

Уравнение (3.5) называют уравнением рациональной оси арки. На рис. 3. 5, в приведены очертания арок с рациональной осью для различных случаев нагружения.

Пример 3.1 Для заданной трехшарнирной арки с размерами, показанными на рис. 3. 6, вычислить значения внутренних усилий в сечениях m и n. Построить эпюры внутренних усилий. Уравнение оси арки – квадратная парабола с началом координат в точке А:

, где l = 12 м, f = 4 м.

Решение.

1. Определяем опорные реакции:

S m_A = q 6×3 + P∙ 9 – R_B 12 = 0. R_B = 6 кН.

S m_B = q 6×9 + P∙ 3 – R_A 12 = 0. R_A = 10 кН.

H = M_C ^бал/ f = (R_B 6 – P∙ 3)/4 = 6 кН.

2. Строим эпюры Q_х ^бал и М_х ^бал.

3. По формуле (3.2) вычисляем значения М_х, получив предварительно ординаты заданных сечений m и n:

4. Вычисляем Q_m и Q_n, используя формулу (3.3)

Q_m=Q_m ^балcosj _m - H sinj _m

Для вычисления тригонометрических функций воспользуемся следующими математическими соотношениями:

;

,

тогда

 

 

, ,

, .

Аналогично:

sinj _n = - 0,555, cosj _n = 0,832.

Подсчитаем значения Q в заданных сечениях:

Q_m = Q_m ^балcosj _m - H sinj _m = 4×0,832 – 6×0,555 = 0.

В сечении n эпюра Q ^бал имеет разрыв, аналогично будет разрыв и в эпюре поперечных сил арки. Поэтому необходимо подсчитать поперечную силу слева и справа от сечения:

 

Одновременно найдем поперечные силы в опорных сечениях А и В.

Q_A = 10×0,6 – 6×0,8 = 1,2 кН; Q_B = -6×0,6–6(-0,8) = 1,2 кН.

Q_C = - 2×1 = - 2 кН.

 

5. Вычисляем продольные усилия по формуле (3.4):

N_m = Q_m ^балsinj _m + H cosj _m = 4×0,555 + 6×0,832 = 7,218 кН,

N_n ^л = (-2)×(- 0,555) + 6×0,832 = 6,108 кН,

N_n ^пр = (- 6)×(- 0,555) + 6×0,832 = 8,328кН,

 

В опорных сечениях:

N_A = 10×0,8 + 6×0,6 = 11,6 кН,

N_В = (-6)×(-0,8) + 6×0,6 = 8,4 кН.

Таблица 1.

№ сеч.	х (м)	y (м)	tg φ	sinφ	cosφ	M б	Н	М	Q б	Q б∙ cosφ	H ∙ sinφ	Q	Q б∙ sinφ	H ∙ cos φ	N
A			1.333	0.8	0.6						4.8	1.2		3.6	11.6
m			0.667	0.555	0.83					3.33	3.33		2.22	4.99	7.22
C									-2	-2		-2
n (л)			-0.667	-0.555	0.83				-2	-1.66	-3.33	1.66	-1.11	4.99	6.11
n( пр)			-0.667	-0.555	0.83				-6	-4.99	-3.33	-1.69	-3.33	4.99	8.33
B			-1.333	-0.8	0.6				-6	-3.6	-4.8	1.2	4.8	3.6	8.4

 

6. Сводим полученные значения в таблицу 1 и строим эпюры внутренних усилий в арке (рис. 3. 6).

Пример 3.2

Для заданной трехшарнирной рамы с размерами и нагрузкой, показанными на рис. 3. 7, а, построить эпюры внутренних усилий.

 

Решение.

1. Определяем опорные реакции:

S m_A = - q 12×18 - P∙ 3 + R_B 24 = 0. R_В = 10,25 кН.

S m_B = q 12×6 + P∙ 21 – R_A 24 = 0. R_А = 11,75 кН.

H = M_C ^бал/ f = (R_А ∙12 – P∙ 9)/6 = 8.5 кН.

2. Строим эпюры Q_х ^бал и М_х ^бал (рис. 3. 7, б).

3. По формулам (3.2), (3.3), (3.4) вычисляем значения внутренних усилий, используя табличную форму.

(3.2)

Q_k=Q_k ^балcosj _k - H sinj _k (3.3)

N_k = Q_k ^балsinj _k + H cosj _k (3.4)

 

В таблицу 2 заносим опорные точки А и В, точки приложения сосредоточенной силы, начала и конца распределенной нагрузки и узлы рамы m и n. В точках приложения сосредоточенных сил в узлах необходимо находить по два усилия (слева и справа от сечения), поскольку в точках приложения сосредоточенных сил скачкообразно меняется поперечная сила, а в узлах слева и справа различный угол наклона поперечного сечения.

 

Таблица 2.

№ сеч.	х (м)	y (м)	sin φ	cos φ	M б	Н	М	Q б	Q б cosφ	H sinφ	Q	Q б sinφ	H cos φ	N
A			0.707	0.707		8.5		11.75	8.31	6.01	2.3	8.31	6.01	14.32
k( л )			0.707	0.707	31.25	8.5	5.7	11.75	8.31	6.01	2.3	8.31	6.01	14.32
k( пр )			0.707	0.707	31.25	8.5	5.7	1.75	1.24	6.01	-4.77	1.24	6.01	7.25
n( л )			0.707	0.707	40.5	8.5	-10.5	1.75	1.75	6.01	-4.77	1.24	6.01	7.25
n( пр )					40.5	8.5	-10.5	1.75	1.75		1.75		8.5	8.5
C						8.5		1.75	1.75		1.75		8.5	8.5
m (л)					46.5	8.5	-4.5	-4.25	-4.25	-3.33	-0.92		8.5	8.5
m( пр)			-0.707	0.707	46.5	8.5	-4.5	-4.25	-3.0	-6.01	3.01	3.0	6.01	9.01
B			-0.707	0.707		8.5		-10.2	-7.25	-6.01	-1.24	7.25	6.01	13.3

Используя данные 8, 12 и 15 столбцов таблицы 2 строим эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме (рис. 3.8).