Фермой называется стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными. При этом нагрузка к ферме прилагается в узлах, а в стержнях возникают только продольные усилия N.
Ферма, как правило, состоит из нескольких однотипных элементов ¾ панелей, при этом стержни фермы имеют свои названия (рис. 2.1):
Фермы классифицируются по следующим признакам:
1.1. По типу решетки: 
1.2. По очертанию:
1.3. По типу опирания: балочные, консольные, консольно-балочные;
1.4. По назначению: стропильные, башенные, крановые, мостовые с ездой понизу и поверху, и др.
Расчет простейших ферм на неподвижную нагрузку
Фермы, образованные из шарнирных треугольников последовательным присоединением узлов, называются простейшими. Они статически определимы и геометрически неизменяемы.
В задачах расчета статически определимых ферм в полной мере приходится использовать уравнения равновесия как сходящейся системы сил (при рассмотрении равновесия узла), так и произвольной системы сил. Необходимо отметить, что все методы определения усилий в стержнях фермы реализуют основной метод механики деформируемого твердого тела - метод сечений. Принято различать три основных способа определения усилий в стержнях ферм:
1) метод моментной точки используется, когда в поперечном сечении оказывается не более трех неизвестных усилий в стержнях; при этом два из них пересекаются в точке, положение которой легко определить. В сумму моментов всех сил, приложенных к рассматриваемой части фермы относительно этой точки, которая называется моментной, войдет только одно неизвестное, которое из этого уравнения и будет найдено;
2) метод проекций. В этом случае записывают сумму проекций всех сил, приложенных к рассматриваемой части фермы на ось х или у или другую произвольно ориентированную ось. Ось проекции выбирается так, чтобы в уравнение равновесия входило одно неизвестное усилие;
3) метод вырезания узлов применяется для определения усилий, когда в узле сходится не более двух стержней с неизвестными усилиями.
|
Пример 2. 1. Определить нулевые стержни заданной консольной фермы (рис. 2.2).
Решение. Вырежем узел 9 и рассмотрим его равновесие (рис. 2.3). Узел не нагружен, и в нем сходятся два стержня.
Из уравнения равновесия
S y = 0 получим:
N 97sina = 0, откуда N 97 = 0.
Запишем второе уравнение равновесия:
S x = 0, - N 97cosa - N 98 = 0, тогда N 98 = 0.
Таким образом, оба усилия, сходящиеся в двухстержневом ненагруженном узле, нулевые.
Рассмотрим равновесие 8-го узла (рис. 2.4). Это так называемый трехстержневой узел с единственно выходящим стержнем. Им является стержень 8–7. Записав сумму проекций S y = 0, нетрудно убедиться, что стержень 8–7 — нулевой, а из уравнения S х = 0 следует, что N 98 = N 86.
Мысленно вырежем узел 7. С учетом того, что стержень 7–8 нулевой, 7-й узел можно рассматривать как трехстержневой с единственно выходящим стержнем 7–6, который тоже будет нулевым. Остальные узлы либо нагружены, либо не могут рассматриваться как трехстержневые, и в остальных стержнях решетки будут возникать продольные усилия.
Пример 2. 2 Вычислить усилия в отмеченных стержнях фермы (рис. 2.5).
Наметим путь решения задачи. Усилие в стержне 3–4 удобно искать, рассмотрев равновесие узла 3; усилие в стержне 5–6 проще найти методом вырезания узла 6, а усилие в раскосе 4–5 удобнее находить, используя метод проекций. Для этого необходимо найти реакции опор и провести сечение I–I.
S m 1 = 0. P∙ 6– R пр ∙ 12 = 0, R пр = R л = Р /2.
Для определения усилия в стержне 3–5 можно воспользоваться методом моментной точки, которая находится в месте пересечения двух других усилий, оказавшихся в сечении I–I. Моментной точкой для N 35 служит узел 4 (рис. 2.5, б).
Дальнейшее решение задачи предлагается провести студентам самостоятельно. Вырезав узел 3, получим N 34 = 0; вырезав узел 6, нетрудно убедиться, что стойка 5–6 сжата усилием P (N 56 = - Р), а спроектировав все силы, приложенные к левой или правой частям фермы на вертикальную ось, получим усилие в раскосе N 54 = R л/cosa = 0,5 P /0,8 = = 0,625 P. Записав уравнение моментов для левой части фермы относительно узла 4, найдем N 35 = R л3/4 = 0,375 Р.
Пример 2. 3. Определить усилия в стержнях третьей панели заданной фермы (рис. 2.6, а). При расчетах принять:
d = 3,6 м, h = 3 м, h 1 = 0,4 h = 1,2 м и Р = 80 кН.
Решение. Итак, нам необходимо определить усилия в пяти стержнях фермы: в стержнях верхнего и нижнего пояса 5–7 и 4–6, в раскосе 4–7, в левой 4–5 и правой 6–7 стойках третьей панели.
Предварительно вычислим ряд геометрических параметров заданной фермы, обозначив размер h - h 1 = h 2.
cosa = d / l 57 = 3,6/3,71 = 0,97, sina = (h 2/2)/ l 57 = 0,9/3,71 = 0,242;
tga = 0,9/3,6 = 0,25; с = h 1/tga = 1,2/0,25 = 4,8 м;
cosb = d / l 47 = 3,6/4,17 = 0,863;
sinb = (h 1 + h 2/2)/ l 47 = 2,1/4,17 = 0,504.
1. Определяем опорные реакции.
S mA = 0. - P∙d - P∙ 2 d - P∙ 3 d - P∙ 4 d + RВ∙ 4 d = 0; RВ = 200 кН.
В силу симметрии RА = RВ = 200 кН.
2. Для определения усилий в стержнях 4-6, 4-7 и 5-7 разрежем третью панель сечением I-I и рассмотрим равновесие одной из частей фермы под действием внешних и внутренних сил (рис. 2.6, б). Рассматривая правую часть фермы, видим, что для определения N 46 удобно записать уравнение моментов относительно моментной точки 7 (узла 7), в которой пересекаются два других неизвестных усилия N 47 и N 57.
S m 7=0. - P∙d + Rb∙d - N 46(h 1+ h 2/2) = 0.
N 46 = (- 80×3,6 + 200×3,6)/2,1 = 206 кН.
Усилие N 46 направлено на чертеже от узла и получилось положительным, следовательно, стержень 4-6 растянут.
Для определения усилия N 57 также удобно использовать метод моментной точки (узел 4). Рассмотрим равновесие левой части фермы.
S m 4 = 0. – Rа∙ 2 d + P∙ 2 d + P∙d - (N 57cosa) h = 0.
N 57 = (- 200 ∙ 7,2 + 80 ∙ 7,2 + 80 ∙ 3,6)/(0,97×3) = - 198 кН.
Знак «-» у усилия N 57 говорит, что стержень 5-7 сжат.
Усилие N 47 можно найти либо методом проекций на ось у всех сил, приложенных к одной из частей фермы, либо методом моментной точки. В данном случае это будет точка m, лежащая справа от опоры В (рис. 2.6). Воспользуемся методом проекций, рассмотрев равновесие левой части фермы (рис. 2.6, б).
S y = 0. RА - P - P - P - N 57sina + N 47sinb = 0.
N 47 = [- 200 + 80 + 80 + 80 + (- 198) ∙ 0,242]/0,504 = - 15,7 кН
(стержень сжат).
|
Для вычисления усилия в стержне 6-7 проведем сечение II-II (рис. 3.32, а) и рассмотрим равновесие правой части фермы (рис. 2.7). Воспользуемся методом моментной точки: для усилия N 67 моментной точкой будет точка m, в которой пересекаются два других усилия N 46 и N 78.
S mm = 0, - N 67(d + c) + Pc - Rbc = 0.
N 67 = (80 ∙ 4,8 - 200 ∙ 4,8)/8,4 = - 69 кН,
(стержень 6-7 сжат).
|
В стойке 5-6 усилие будем определять методом вырезания узлов, вырезав узел 5 (рис. 2.8). Спроецируем все усилия, сходящиеся в узле, на ось у. В силу симметрии фермы и внешней нагрузки усилие в стержне 3-5 примем равным усилию в стержне 5-7.
S y = 0. - P - N 45 - N 57sina - N 35sina = 0;
N 45 = - 80 -2(-198) ∙ 0,242 = 15,8 кН, cтойка 4 - 5 растянута.
Для проверки полученных усилий можно записать уравнение проекций всех сил, приложенных к левой или правой частям фермы (рис. 2.6, б) на ось х.
S x = 0. N 57cosa + N 47cosb + N 46 = 0;
(- 198) ∙ 0,97 + (-15,7) ∙ 0,863 + 206 = - 205,6 + 206 = 0.
Погрешность d, полученная в результате проверки, равна:
d = (206 - 205,6) ∙ 100%/205,6 = 0,2%,
при допустимой (разрешенной) для данного типа задач 3-5%.
