Линии влияния опорных реакций
|
Для определения вида линии влияния реакции RА составим следующее уравнение равновесия S mB = 0,
RА∙l – P (l – x) = 0.
Тогда линия влияния левой реакции
л. в. RА = 
. (3.6)
Выражение для линии влияния реакцию RВ определим из уравнения S mA = 0,
RВ∙l – P∙ x = 0.
В результате:
л. в. RВ = 
. (3.7)
Линии влияния реакций RА и RВ показаны на рис. 3.8.
Отметим, что линии влияния вертикальных реакций в арке те же, что и в однопролетной балке и в ферме.
Поскольку выражение горизонтальной реакции (распора) связано со значением балочного изгибающего момента в точке С 
, его линия влияния будет иметь две ветви.
Сила Р = 1 справа от точки С. Рассмотрим равновесие левой части арки.
, RА∙l 1 – H∙f = 0. Откуда
. (3.8)
Получили уравнение правой ветви линии влияния H.
Аналогично получим уравнение левой ветви - сила Р = 1 слева от точки С. 
, RВ∙l 2 - H∙f = 0. Тогда
. (3.8)′
Линия влияния Н показана на рис. (3.8).
Построение линии влияния изгибающего момента
Воспользуемся выражением для изгибающего момента в арке
Mк = Mкб – Н∙ук.
Очевидно, что справедливо следующее утверждение
л.в. Mк = л.в. Mкб – (л.в.Н)ук,
то есть линию влияния момента в арке можно построить методом наложения двух линий влияния - Mкб и Н∙ук. Поступаем следующим образом.
1. Вверх от оси строим линию влияния Mкб (на рис. 3.9 показана сплошной линией).
2. На той же оси откладываем ординаты линии влияния Н, умноженные на координату точки «к» ук (пунктирная линия). Для этого достаточно построить левую ветвь линии влияния Н, умножив ее ординаты на ук, Правая ветвь будет представлена прямой, соединяющей конец левой ветви (проекция т. С) с нулевой точкой на правой опорной вертикали (проекция т. В).
3. В результате получаем разность ординат линий влияния Mкб и Н∙ук (заштрихованная область на рис. 3.9 и представляет собой линию влияния Mк).
Точка F′ – нулевая точка линии влияния Mк.
Положение нулевой точки F′ можно найти графическим построением на чертеже арки (графически). Нулевое значение Mк получается при положении единичной силы в интервале между сечением к и ключевым шарниром С. Так как единичная сила приложена к левому диску арка, линия действия правой реакции В должна проходить через центр ключевого шарнира, поскольку .
|
Поскольку единичная сила правее сечения «к», то для выполнения условия, что Mк = 0, реакция А должна действовать по линии Ак. Проводим линии Ак и ВС, под точкой пересечения которых и находится нулевая точка F′.
Для построения линии влияния Mк способом нулевой точки откладываем на левой опорной вертикали ординату 1∙ ак, далее соединяем ее с нулевой точкой F′ - получаем 1-ю правую ветвь. Проводя вертикаль через шарнир С получаем границу 1-й и 2-й правых ветвей (то есть правая ветвь представляет собой ломаную линию).
Левую ветвь находим по 1-й правой ветви, соединяя ее начало с левой опорной точкой.
Ординату нулевой точки можно определить аналитически. Она равна (без вывода)
(3.9)
Построение линии влияния поперечной силы.
Воспользуемся выражением (3.3) для поперечной силы в арке
Qк = Qкб cos j к– Н sin j к. (3.3)
Поскольку для заданного сечения величины cos j к и sin j к постоянны, справедливо следующее утверждение
л.в. Qк = (л.в. Qкб) cos j к – (л.в.Н) sin j к.
То есть для построения линию влияния поперечной силы в арке можно воспользоваться методом наложения линий влияния Qкб и Н, умноженных на значения соответствующих тригонометрических функций. Поступаем следующим образом (рис. 3.10).
1. Строим линию влияния Qкбcos j к для сечения «к».
2. Вверх от оси откладываем ординаты линии влияния Н sin j к, которые получаем по левой ветви, ордината которой на правой опоре равна (l 2/ f) sin j к.
3. Отмечаем (штрихуем) ординаты, соответствующие выражению (3.3).
|
Отметим, что в пересечении левой ветви л. в. Н sin j к с правой ветвью л. в. Qкбcos j к находится нулевая точка F 1′, положение которой можно установить графически по чертежу арки. Действительно, если сила Р = 1 находится между точками к и С, то слева от точки «к» будет действовать только реакция А и для того, чтобы в сечении «к» выполнялось условие 
, реакция должна быть параллельна касательной к оси арки в сечении «к».
В то же время, линия действия реакции В будет направлена вдоль прямой ВС. На пересечении этих прямых находится нулевая точка F 1.
Для построения линии влияния поперечной силы в арке методом нулевой точки достаточно в сечении «к» провести касательную к оси арки направить реакцию А по этой касательной до пересечения с прямой, соединяющей шарниры С и В и получить положение нулевой точки. Далее, отложить на левой опорной вертикали ординату cos j к и провести 1-ю правую ветвь через точку F 1′. Проводя вертикаль через шарнир С получаем границу 1-й и 2-й правых ветвей. Затем проводим левую ветвь, которая параллельна 1-й правой ветви (рис. 3.10).
Положение нулевой точки F 1 можно определить аналитически
(3.10)
Построение линии влияния продольной силы.
По аналогии с построением линии влияния поперечной силы, для построения линии влияния продольной силы можно применить метод наложения и метод нулевой точки.
Для метода наложения необходимо воспользоваться выражением для продольной силы в арке
Nк = – Qкб sin j к – Н cos j к, (3.4)
тогда:
л.в. Nк = (л.в. Qкб) sin j к + (л.в.Н) cos j к.
Здесь мы учли, что сжимающая сила в арке считается положительной.
Воспользуемся методом наложения (рис. 3.11).
1. Строим линию влияния Qкб sin j к.
2. От оси вниз строим линию влияния Н cos j к по левой ветви (пунктирная линия).
3. Складываем ординаты построенных линий влияния.
Если продолжить правую ветвь (л.в.Н) cos j к и левую ветвь (л.в. Qкб) sin j к получим точку F 2′. Если предположить наличие консоли – ответвления от участка арки кС, по которой перемещается единичная сила, то слева отсечения «к» действует только реакция А. Если она направлена вдоль оси n, то Nк = 0, т. е.
нулевая точка находится на пересечении прямых ВС и линии действия реакции А.
Для построения лини влияния Nк методом нулевой точки достаточно найти положение т. F 2′, затем отложить от левой опоры ординату sin j к и соединить полученные точки до координаты шарнира С – получим 1-ю правую ветвь. Далее строим 2-ю правую ветвь, проводя прямую от конца 1-й правой ветви до правой опоры. Левая ветвь параллельна 1-й правой ветви.
Координата нулевой точки равна
(3.11)
Пример 3.3. Построить линии влияния опорных реакций и внутренних усилий в сечении «к» для арки параболического очертания. Размеры арки указаны на чертеже.
Решение. Построение линий влияния опорных реакций RA, RB и распора H однотипно для трехшарнирных систем, так как не зависит от очертания арки (рис. 3.12).
Для построения линий влияния внутренних усилий вычислим координаты сечения «к» и тригонометрические функции угла φк.
yk = 
φ k = 33,6°, sinφ k = 0.554, cosφ k = 0.836.
Построение указанных линий влияния проведем методом нулевой точки (рис. 3.13).
Пример 3.4. Построить линии влияния внутренних усилий в сечениях «к» и «д» в трехшарнирной раме. Размеры рамы указаны на чертеже (рис. 3.14).
Для построения линий влияния внутренних усилий вычислим координаты сечений «к» и «d» и тригонометрические функции углов φк и φ d.
xk = 3 м, xd = 6 м.
φ k = 45°, sinφ k = 0.707, cosφ k = 0.707,.
φ d(л) = 45°, sinφ d(л) = 0.707, cosφ d(л) = 0.707.
φ d(пр) = 0°, sinφ d(пр) = 0, cosφ d(пр) = 1.
Построение указанных линий влияния проводим методом нулевой точки (рис. 3.14, 3.15). Линии влияния Qd(пр) и Nd(пр) построены методом наложения.
