В случае качественных альтернативных признаков, имеющих только два взаимоисключающих варианта значений (да и нет; качественные изделия и бракованные и т.д.), дисперсия рассчитывается по формуле
,
где p – удельный вес единиц, обладающих некоторым значением признака;
q – удельный вес единиц, не обладающих некоторым значением признака.
Очевидно, что р + q = 1.
Предельное значение вариации доли альтернативного признака равно 0,25 (р∙q = 0,5∙0,5 = 0,25).
Решение типовых задач
Пример 3.1. Цены на товар А в районах области составили:
| Район | Цена за ед., руб. Р | Числен-ность населения в процентах к итогу f | Расчётные графы | |||||
| 
| 
| 
| 
| 
| |||
| -14 | 4 900 | 0,98 | ||||||
| 1 120 | -3 | 0,21 | ||||||
| 2 304 | 0,84 | |||||||
| -10 | 1 100 | 0,70 | ||||||
| 4 732 | 1,82 | |||||||
| 1 156 | 6 936 | 2,38 | ||||||
| -8 | 0,56 | |||||||
| Итого | 3 798 | 1 158 | 20 452 |
Дадим оценку колеблемости цен на данный товар в районах области.
Решение
Для оценки колеблемости цен в области на товар А рассчитаем (вспомогательные расчёты приведём в таблице):
1. Размах вариации цен
2. Среднюю цену товара
3. Среднее линейное отклонение
4. Среднее квадратическое отклонение
5. Коэффициент вариации
Так как V>33 %, то колеблемость цен на товар А в области следует признать весьма заметной, а совокупность районов по уровню цен неоднородной.
6. t – критерий
Так как для всех районов ti<3, то цены на товар А в каждом районе можно считать типичными.
Пример 3.2. Заработная плата 12 продавцов магазина характеризуется следующими данными:
| Группа продавцов по стажу работы, лет | Число продавцов | Месячная заработная плата каждого продавца за сентябрь, руб. |
| 1. До 5 | 5 234; 7 895; 6 370; 9 870; 10 270; 8 400; 8 590 | |
| 2. Свыше 5 | 12 530; 8 940; 9 430; 6 400; 7 350 |
Используя правило сложения дисперсий, оценим влияние стажа работы на различия в уровне заработной платы продавцов.
Решение
В этой задаче необходимо разложить общую вариацию заработной платы (общую дисперсию) на систематическую, связанную с профессией (межгрупповую дисперсию), и случайную, обусловленную всеми прочими факторами, кроме профессии (внутригрупповую дисперсию).
1. Средний уровень заработной платы в каждой группе и по магазину в целом:
2. Внутригрупповые и средняя из внутригрупповых дисперсий:
.
Средняя из внутригрупповых дисперсия характеризует вариацию заработной платы в результате действия случайных, неучтённых факторов.
3. Межгрупповая дисперсия:
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию заработной платы в результате действия признака-фактора, положенного в основание группировки – стажа работы
4. Общая дисперсия:
Общая дисперсия характеризует общую вариацию заработной платы, сложившуюся в результате действия как систематического фактора (стажа работы), так и всех прочих неучтённых факторов (образование, квалификация и т.д.).
5. Правило сложения дисперсий:
6. Среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации:
Совокупность продавцов достаточно однородна по уровню заработной платы, так как значение коэффициента вариации меньше 33%.
8. Эмпирический коэффициент детерминации:
, или 4,7%. Это означает, что только на 4,7% вариация заработной платы продавцов за сентябрь обусловлена различиями в их стаже работы и на 95,3% — влиянием прочих факторов.
9. Эмпирическое корреляционное отношение:
В соответствии с соотношениями Чэдока можно сказать, что связь между стажем работы и уровнем заработной платы продавцов слабая.
Пример 3.3. В трёх партиях мясных консервов, представленных на контроль качества, бракованными оказались 1,5% в первой партии, состоящей из 1000 банок; 2,5% — во второй партии (1200 банок); 3,5% — в третьей партии (1500 банок). Определим средний процент бракованной и годной продукции, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации всей партии по качеству.
Решение
Средний процент бракованной продукции:
, или 2, 65 %.
Средний процент годной продукции:
, или 97,35%.
Дисперсия удельного веса бракованной продукции:
Среднее квадратическое отклонение: 
Коэффициент вариации удельного веса годной продукции:
Так как значение коэффициента вариации меньше 33%, можно утверждать, что совокупность партии мясных консервов является однородной по качеству.
