4.1. В магазинах торговой сети с общим числом работников 1 000 человек было проведено 5 %-ное выборочное обследование возраста работников методом собственно-случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные:
| Возраст, лет | До 30 | 30 − 40 | 40 − 50 | 50 − 60 | Свыше 60 |
| Число сотрудников |
Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний возраст работников торговой сети; 2) с вероятностью 0, 683 пределы, в которых находится доля работников в возрасте старше 50 лет; 3) необходимую численность выборки при определении среднего возраста работников торговой сети города, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2,5 года; 4) необходимую численность выборки при определении доли работников в возрасте старше 50 лет в торговой сети города, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка не превышала 6 %.
4.2. Для изучения производительности труда в торговом центре было проведено выборочное обследование 100 продавцов из 1 000 методом собственно-случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о дневной выработке продавцов:
| Дневная выработка, тыс. руб. | 18 − 20 | 20 − 22 | 22 − 24 | 24 − 26 | 26 − 28 | 28 − 30 |
| Число продавцов |
Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средняя дневная выработка продавцов; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится доля продавцов с дневной выработкой до 20 тыс. руб.; 3) необходимую численность выборки при определении средней дневной выработки продавцов, чтобы с вероятностью 0, 997 предельная ошибка выборки не превышала 1 тыс. руб.; 4) необходимую численность выборки при определении доли продавцов с дневной выработкой до 20 тыс. руб., чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 0,5 %.
4.3. При контрольной проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5 %-ное выборочное обследование партии нарезных батонов из муки высшего сорта. При этом из 100 отобранных батонов 90 шт. соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного батона в выборке составил 500,5 г. при среднем квадратическом отклонении 15, 4 г.
Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы среднего веса одного батона во всей партии; с вероятностью 0,687 пределы удельного веса стандартной продукции во всей партии.
4.4. В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом собственно-случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7 %, если процент отбора равен 10?
4.5. В выборке объёмом 1 000 единиц доля бракованных изделий составила 2 %. Какова вероятность того, что во всей партии изделий (10 000 единиц) доля брака не превзойдёт 2,5 %.
4.6. Какой должна быть необходимая численность выборки при механическом отборе, чтобы установить генеральную долю с ошибкой не более 2 %, если дисперсия доли неизвестна, а отбор производится из совокупности, включающей: а) 1 000 единиц; б) 10 000 единиц; в) 100 000 единиц? Вероятность, гарантирующая результаты выборочного наблюдения, равна 0,954.
4.7. С целью определения средней месячной заработной платы персонала торгового центра было проведено 25 %-ное выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников внутри каждой типической группы использовался механический отбор. Результаты обследования представлены в следующей таблице:
| Группы секций торгового центра по специализации | Средняя месячная заработная плата, руб. | Среднее квадратическое отклонение, руб. | Число сотрудников, чел. |
| 1. Швейные изделия 2. Обувь 3. Игрушки 4. Радиотовары | 8 700 10 400 12 600 15 300 |
Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средняя месячная заработная плата всего персонала торгового центра; 2) объём типической бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 10,0 руб.
4.8. При обследовании бюджетов домашних хозяйств города была организована 10 %-ная типическая пропорциональная выборка. Результаты обследования представлены в следующей таблице:
| Группы населения по семейному положению | Объём выборки | Доля расходов на оплату жилья, % |
| Одинокие Семейные |
Определите: 1) с вероятностью 0,683 границы доли расходов на оплату жилья населением города; 2) объём типической бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2,0 %.
4.9. Для выявления размера прибыли, приходящейся на одно торговое предприятие в регионе произведена 10 %-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности выделенных групп. Внутри типических групп произведён механический отбор. Результаты представлены в таблице:
| Форма собственности | Число торговых предприятий | Объём прибыли в среднем на одно предприятие, млн руб. | Среднее квадратическое отклонение, млн руб. |
| 1. Государственная | 224,2 | 1,9 | |
| 2. Негосударственная | 167,3 | 2,6 |
Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать объём прибыли в среднем на одно торговое предприятие региона; 2) вероятность того, что генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней не более, чем на 2,5 %; 3) объём бесповторной типической выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки не превышала 0,2 млн руб.
4.10. При планировании выборочного обследования занятости лиц женского пола в торговле региона используются следующие данные:
| Район | Численность женщин в трудоспособном возрасте, тыс. чел. | Удельный вес занятых мужчин, % (оценка) |
С вероятностью 0,954 определите необходимый объём типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли: а) при повторном отборе; б) при бесповторном отборе в районах, чтобы ошибка выборки не превышала 5 %.
4.11. Выпускаемая акционерным обществом продукция упаковывается в ящики по 100 шт. в каждом. Из 100 ящиков, поступивших на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной выборки было отобрано пять, все детали которых проверены на вес. Результаты проверки показали, что средний вес деталей в ящиках составил (г):
| Номер ящика | |||||
| Средний вес детали, г |
Определите: 1) с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний вес деталей, поступивших на склад готовой продукции акционерного общества; 2) вероятность того, что средний вес деталей будет отличаться от полученного по выборке не более, чем на 5,64 г.; 3) объём бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки при определении среднего веса деталей не превышала 5,0 г.
4.12. Для обследования качества поставляемых торговле пищевых яиц, они были распределены на 50 равновеликих серий (коробок). На основе механического отбора было проверено 10 серий, в которых удельный вес стандартной продукции составил 80 %.
Определите: 1) с вероятностью 0,683 границы доли удельного веса стандартной продукции во всей партии, если межсерийная дисперсия равна 8,41; 2) вероятность того, что доля стандартной продукции будет отличаться от полученной по выборке не более, чем на 16,4 %; 3) объём бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при установлении границы доли стандартной продукции во всей партии не превышала 10 %.
4.13. Что произойдёт с величиной предельной ошибки выборки, если вероятность, гарантирующую результат: а) увеличить с 0,954 до 0,997; б) уменьшить с 0,954 до 0,683; в) увеличить с 0,683 до 0,954; г) уменьшить с 0,997 до 0,954; д) увеличить с 0,683 до 0,997?
4.14. Определите, как изменится средняя ошибка случайной выборки, если необходимую численность выборочной совокупности: а) уменьшить в 2,5 раза; на 40 %; б) увеличить в 1,5 раза; на 20 %;. Как нужно изменить необходимую численность выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась: в 2 раза; на 50 %; на 30%?
4.15. В каком соотношении находятся при прочих равных условиях ошибки соответственно случайной бесповторной и повторной выборки при 1 %-ном, 5, 10 и 20 %-ном отборе?
4.16. Определите, в каких случаях предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях): а) при отборе 50 единиц или 50 серий?; б) при отборе 100 единиц или 25 серий, если общая дисперсия в 3,5 раза больше межгрупповой?; в) при отборе 200 единиц или 50 серий, если общая дисперсия равна 0,25, а эмпирическое корреляционное отношения равно 0,49?
Тема 5. ИНДЕКСЫ
Методические указания
