Ф-ции нескольких переменных,их определение,обозначение,область существоания

Определение и обознаение:

Переменная u назыв ф-ей n переменных(аргументов x,y…t),если каждой системе значений x.y…t из области их изменений соотв опред значение u

U=f(x,y..t)

Геометрически:1)каждая с/с значений 2-х переменных(x;y) изображается точкой на пл-ти,а ф-ция 2-х переменных изображается некоторой поверхность в пространстве.

2)Каждая с/с значений 3-х переменных (x,y…t) отражается в т. Пространстве.

3)с/с значений 4-х и больше числа переменного не имеет геометр изображения,но в целях общности с/с значений любого числа n переменных (x,y….t) назыв т. N-мерного пространства,а ф-цию u зависящую от n переменных назыв ф-цией n-мерного пространства u=f(x,y…t)=f(M)

Областью опред ф-ции назыв совок всех точек в которых она имеет опред действ значение z=f(x;y)-для ф-ций 2-х переменных u=f(x,y..t)для ф-ций 3-х переменных совок некоторых точек пространства.

Вопрос 47.

Предел и не прерывность функции нескольких переменных.

Число A называется пределом функции f(m) в точке m0 lim f(M)=A. Если абсолютное знаечение разности |f(M)-f(M0)| будет меньше любого заранее заданного числа E>0 когда расстояние MM0 меньше некоторого числа >0 зависящего от эпсиона = (E).

Функция f(M) называется не прерывной в точке от M0 если lim f(M)=f(M0)

Для не прерывности функции f(M) в точке M0 необходимо выполнение трех условий.

1) F(M) должна быть определена в точке M0 и ее окрестности

2) F(M) должна иметь предел когда М М0 любым способом

3) Это предел должен быть равен F(M0)

Функция f(M) непрерывна в каждой точке области D- называется непрерывной в этой области.

Вопрос 48.

Частные производные первого порядка ф-ции нескольких переменных.

Ф-цию u=f(x,у...t) можно дифференцировать по каждому из её аргументов,считая все остальные аргументы постоянными.

Производная от ф-ции u`=f(x,у...t) по х взятая в предположении,что все остальные аргументы у...t постоянные,называются частной производной от фции u по х и обозначаются: или

 

Аналогично определяются и обозначаются частные производные от u по остальным аргументам

Вопрос 49

Дифференц ф-ций и нескольких переменных.Применение полного дифференц приблженого вычисления.

Частным дифферен по x ф-ции u назыв главная часть соотв частного приращения ф-ции

аналогично опред частные дифф-лы ф-ции u по каждому из остальных ее аргументов.Они обозначаются

Из их опред следует,что

Полным диф-лом ф-ции u=f(x,y…t) назыв главная часть ее полного приращения

Полный диф-л ф-ции если он сущ= ∑ частных диф-лов

 

u=f(x,y…t)

Ф-ция u=f(x,y…t) назыв диф-ой в т.(x,y…t) если она имеет в этой т полный диф-л