Первый замечательный предел: 
Второй замечательный предел: 
или 
Вопрос 15.
Непрерывность функции в точке,в интервале,на отрезке.
Функция y=f(x),наз-ся непрерывной в т.x₀,если сущ предел ф-ции в этой точке и он равен значению ф-ции в этой точке. 
(1) равенство (1) означает выполнение 3-х усл:
1)ф-я опред в т Хо и ее окрестности
2)ф-я f(x) имеет lim x 
3)lim f(x) в т.Хо=ее значению в этой точке
Пусть y=f(x) опред в некотором (a;b) возьмем т.Хo 
.Для любого Х разность x , назыв приращением аргументов Х в т.Хо 
Разность,назыв приращением ф-ции 
2 опред неприрывности
Усл 
и 
одинаковые 
равенство(1) принимает вид: 
(2)
Т.е ф-я y=f(x),назыв неприрывной в т.Хо,если она опред в т.Хо и ее окрестности выполняется равенство (2),т.е БМ приращению аргумента соответ БМ приращению ф-ции
Ф-ция y=f(x),наз-ся непрерывной на интервале (a;b),если она непрерывна в каждой т.этого интервала.
y=f(x),наз-ся непрерывной на отрезке [a;b],если она непрерывна на интервале (a;b) и в т. X=a и справа это значит 
,а в т.x=b непрерывна слева 
Точки в которой нарушается непрерывность ф-ции наз-ся точками разрыва этой ф-ции.Если x= x₀,-т.разрыва функции,то в ней не выполняется одно из 3х усл.непрерывности.
Вопрос 16.
Точки в Х нарушается неприрывность ф=ции,назыв точками разрыва этой ф-ции,если Х=Хо точка разрыва ф-ции,то в ней не выполнится одно из 3-х усл неприрывности.
Точки разрыва ф-ции и их классификация
Все т.разрыва ф-ции подразделяются на т.разрыва 1-го и 2-го порядка.
т.разрыва x₀-т.разрыва 1 рода, ф-ции y=f(x),если существует в этой т.конечный левый и правый пределы 
, 
При этом:
а)если А₁=А₂, то x₀ - т.устраненного разрыва
б)если A₁≠A₂,то x₀ - т.конечного разрыва. Вел-на модуля |А₂-А₁|, скачок ф-ции, т.разрыва 1 рода.
Т.разрыва, x₀ наз-ся т.разрыва 2го рода ф-ции y=f(x) если по крайней мере 1 из односторонних пределов =∞ или не сущ.
Вопрос 17. Основные теоремы о непрерывных ф-циях.
1.Сумма произведения частное 2х непрерывных функций есть непрерывная функция.
2.Пусть ф-ция u= 
непрерывна в т. x₀,а ф-ция y=f(u) непрерывна в т. u₀=ϕ(x₀) тогда сложная ф-ция y=(ϕ(x))-непрерывна в т. x₀
3.Все элементарные ф-ции непрерывны для всех значений Х входящих в область их определения.
Вопрос 18.
Задачи приводящие к понятию производной.
Пусть материальная т.М движется не равномерно по прямой
Каждому моменту времени t соответствует расстояние OM=S.Это расстояние зависит от времени s=s(t).Равенство назыв законом движения точки.
Найдем скорость движения точки.
Пусть момент времени 
,точка займет положение 
переменная т.М за время 
.Отношение 
назыв средней скоростью движения точки за время 
Предел 
назыв скоростью движения точки в момент времени t(мгновенною скоростью)
Касательная кривой
Возьмем на кривой L 2 точки M и 
назыв секущей. Пусть т. 
двигаясь вдоль кривой L приближается к т.М, когда тогда секущая поворачивается вокруг т.М и стремится к некоторому предельному положению МТ. Касательной к данной кривой данной т.М назыв предельное положение МТ секущей 
,проходящей через т.М и 
,когда т. 
неограниченно приближается по кривой к т.М
Рассмотрим неприрывну ф-цию y=f(x).
Проведем касательн к графику в этой точки и обозначим углом образован этой касательн с положит направлен ОХ,угловой коэф этой касат 
При 
,т. 
будет неограниченно приближаться по кривой к т.М,а секущая будет поворачиваться вокруг т.М переходя в касательную,а 
будет стремится к 
=углов коэф к касат 
Вопрос19.
Определение производной,её механический и геометрический смысл.Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Пусть ф-ция y=f(х) определенна в интервале (a;b)
1.аргументу хͼ(a;b) придадим приращение 
х такое,что 
2.найдем соотв.приращение ф-ции y. ∆y=f(x+∆x)-f(x)
3.сост.отнош. 
4.и перейдем к пределу этого отнош.при ∆х->0
Если этот предел существует,то он наз-ся производной ф-ции f(x) и обозначается f’’х, f’ (x),y’(x) и т.д.
= f’ (x)
Производной ф-ей y=f(x) в т.Хо назыв предел отношения,приращение ф-ции приращения аргумента,когда последнее 
. 
Операция нахождения производ-дифференцированием.Если ф-ция y=f(x) имеет производ в каждой т.(a;b),то она назыв дифференцированной на (а;b)
Др.обозначения произв в т.y`(Xo); 
Рассмотрим мгновенную скорость
это равенство можно написать в виде v`(t)= 
Скорорсть прямолинейнного движения материальной точки в момент t есть производ пути S по времени t-в этом физический смысл.
Рассмотрим улговой коэф касательной. 
По определен производ K=f`(x)
Производн ф-ции в т.Х=углов коэф касат проведенной к графику ф-ции в т.Х-геометр смысл.?????
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Теорема:Если ф-ция дифф-ая в некоторой точки,то она неприрывна в этой точки
Теорема не верна:неприрывная ф-ция может не иметь производной.
Вопрос 20.
Правила дифференцирования.Формулы деференцирования
Рассмотрим ф-ции u=u(x),v=v(x)
1.(v±u)ˈ=(uˈ±vˈ)
2.(uv)ˈ=uˈv+vˈu (cuˈ)cuˈ -постоянную можно вынести за знак
3.(
)ˈ= 
4.Сложной функции
y=f(u) u=ϕ(x)
yᵪˈ=yˈᵤ · Uₓ
5.Связь между кривой произв-ой обратной ф-ции:
y=f(x), x=ϕ(y)
yₓˈ= 
Формулы дифференцирования
1.(c)ˈ=0 c-const
2.(
)ˈ= 
2. (a u)' = a u lna ×u'.
3. (e u)' = e u u'.
4. (log a u)' = u' /(u ln a).
5. (ln u)' = u'/u.
6. (sin u)' = cos u ×u'.
7. (cos u)' = - sin u ×u'.
8. (tg u)' = 1/ cos 2 u ×u'.
9. (ctg u)' = - u' / sin 2 u.
10. (arcsin u)' = u' / 
.
11. (arccos u)' = - u' / .
12. (arctg u)' = u' /(1 + u 2).
13. (arcctg u)' = - u' /(1 + u 2).
Вопрос 21.
Дифференцтрование неявных функций, Если ф-ия задана ур-ем y=f(x), разрешееном относит. у, то эта ф-ия задана в явном виде. Не явно заданная ф-ия задается ур-ем не разрешенном относит. у. Для нахождения ее производной нужно продефферен. ее ур-е F(x;y)=0 по х. Рассматривая у как ф-ию х. Из полученного ур-я выразить у’.
