Лекции.Орг
 

Категории:


Как ухаживать за кактусами в домашних условиях, цветение: Для кого-то, это странное «колючее» растение, к тому же плохо растет в домашних условиях...


Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки): Структурная и функциональная единица нервной ткани и он состоит из тела...


Макетные упражнения: Макет выполняется в масштабе 1:50, 1:100, 1:200 на подрамнике...

Опуклість і угнутість графіка функції. Точки перегину



 

Графік функції , яка диференційовна на інтервалі , називається опуклим вниз (угнутим) на інтервалі , якщовін розташований вище будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Графік функції називається опуклим вгору на інтервалі , якщо він розташований нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі.

Точка графіка неперервної функції , яка відділяє його частини різної опуклості, називається точкою перегину.

На рисунку 2.10 крива опукла вгору в інтервалі , опукла вниз в інтервалі точка ) — точка перегину.

Інтервали опуклості вниз і вгору знаходять за допомогою наступних теорем.

 

Рис. 2.10

 

Теорема 1. Якщо функція , у всіх точках інтервалу має від’ємну другу похідну, тобто , то графік функції в цьому інтервалі опуклий вгору. Якщо ж у всіх точках інтервалу , то графік функції — опуклий вниз.

Теорема 2 (достатня умова існування точок перегину). Якщо друга похідна або не існує в точці і під час переходу через точку змінює знак, то точка графіка функції з абсцисою є точка перегину.

Точки, в яких , або , або не існує (ні скінченна, ні нескінченна) називають критичними точками 2-го роду.

 

Приклад 2.52. Знайти точки перегину кривої у = ln(4 + х2).

Розв’язання. Знаходимо другу похідну:

 

 

у¢¢ = 0 при х = ±2. Це абсциси точок, «підозрілих» на перегин (критичні точки 2-го роду). Інших критичних точок 2-го роду немає. Досліджуємо точки х = ±2, для чого складемо таблицю (таблиця 2). Тому що при переході через точки х = ±2 у¢¢ змінює знак, то точки з абсцисами х = ±2є точками перегину.

. Отже, точки А(+2, ln 8), В(-2, ln 8) – точки перегину графіка функції у = ln(4 + х2).

 

Таблиця 2

 

x (-¥; -2) -2 (-2; 2) (2; ¥)
у¢¢ -   +   -
Графік у опуклий Точка перегину угнутий Точка перегину опуклий

Зауважимо, що таблиця містить також інтервали опуклості й угнутості графіка функції. В інтервалах при (- ¥, -2), (2, ¥) графік опуклий (у¢¢ < 0), в інтервалі (-2, 2) графік угнутий (у¢¢ > 0).

Асимптоти кривої

 

Пряма називається асимптотоюкривої, якщо відстань від точки М кривої до цієї прямої наближається до нуля при віддаленні точки М в нескінченність уздовж кривої. Інакше кажучи, крива у = f(x), яка має нескінчену гілку,необмежено наближається до своєї асимптоти при віддаленні змінної х у нескінченність (рис 2.11).

 

Рис. 2.11.

 

Асимптоти бувають вертикальні, горизонтальні та похилі.

1. Якщо в точці х0 =а функція має розрив другого роду, то пряма х = а може бути вертикальною асимптотою графіка функції.

2. Якщо при дляфункції існує скінченна границя, тобто або то пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції.

3. Рівняння будь-якої похилої асимптоти має вид:

 

y = kx+ b .(2.20)

Для визначення похилої асимптоти до графіка функції у = f(x), треба знайти числа k та b за формулами:

 

. (2.21)

Границі треба обчислювати окремо для випадків , та , але часто ці границі збігаються.

Зауваження.Якщо хоча б одна з цих границь не існує, то похилих асимптот не існує. Зауважимо також, що горизонтальні асимптоти є окремим випадком похилих асимптот при k = 0.

Приклад 2.53. Знайти асимптоти до графіка функції .

Розв’язання. При функція у не існує і має розрив в точці х=1. Визначимо вид розриву, для чого знаходимо лівобічну та правобічну границі:

 

.

 

.

 

В точці функція має розрив другого роду, тому пряма є вертикальна асимптота.

Похилі асимптоти шукаємо у виді у = kx+ b.

визначаємо спочатку k

 

 

похила асимптота відсутня.

Знаходимо горизонтальні асимптоти: . . Рівняння горизонтальної асимптоти .





Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 587 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. C точки зpения особенностей стpуктуpы источников, юpидической
  2. I этап. Определение анилиновой точки
  3. II. Динамика вращательного движения материальной точки (твердого тела) (задача 2)
  4. III. Оборот переменного капитала с общественной точки зрения
  5. Алгебраїчний спосіб розрахунку точки беззбитковості
  6. Александр Лоуэн ПРЕДАТЕЛЬСТВО ТЕЛА. вания. Они незначительны с точки зрения функциониро­вания
  7. Александр Лоуэн ПРЕДАТЕЛЬСТВО ТЕЛА. Сандор Радо (Sandor Rado) рассматривает шизо­идную личность с точки зрения физиологии.10 Согласно Радо
  8. Аналіз впливу факторів на зміну точки беззбитковості та запасу міцності
  9. Аналогичным образом находим, выставляем и фиксируем на правом луче другие опорные точки голограммы: через сутки, неделю, месяц, год, девять лет
  10. Билет 6. РП: источники, система, редакции. Точки зрения по поводу происхождения РП
  11. Болезни, инфекции с радиофизической точки зрения
  12. В балансе основных фондов по полной стоимости основные фонды рассматриваются с точки зрения


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.005 с.