Інтеграли від виразів з квадратним тричленом

 

При обчисленні інтегралів виду і з квадратного тричлена виділяють повний квадрат і його позначають через (метод заміни змінної).

 

Приклад 3.15. .

 

Розв’зання. Виділяємо із квадратного тричлена повний квадрат

 

 

Вважаючи , найдемо , . Будемо мати

 

 

Інтеграли від деяких ірраціональних функцій

 

Інтеграли від деяких ірраціональних функцій, які мають корені різних степенів від однієї і тієї ж функції, можна знайти, якщо замінити підкореневий вираз новою змінною зі степенем з показником найменшого спільного кратного показників степенів всіх коренів. Розглянемо приклади.

 

Приклад 3.16. Знайти невизначений інтеграл

Розв’зання.

 

У відповіді доданок віднесено до постійної інтегрування С. Враховано так само, що

 

Приклад 3.17. Знайти інтеграл .

 

Розв’зання.

В даному випадку позбудемось від ірраціональності заміною

 

 

Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій

 

1. Для знаходження інтегралів типу використо-вуються наступні прийоми:

1) підстановка sin x = t, якщо n — ціле додатне непарне число;

2) підстановка cos x = t, якщо m — ціле додатне непарне число;

3) формули зниження порядку:

якщо m і n — цілі невід’ємні парні числа;

4) підстановка tg х = t, якщо m + n — парне від’ємне ціле число.

 

Приклад 3.18. Знайти інтеграли:

 

а) ; б) ; в) г)

 

Розв’зання.

 

а) Оскільки n — ціле додатне непарне число, то застосовуємо заміну sin x = t. Але перш, ніж її застосувати помножимо чисельник і знаменник підінтегральної функції на cos x.

 

 

Отриманий дріб легко розкладається на суму найпростіших дробів:

 

 

б) Оскільки m — ціле додатне непарне число, те застосовуємо заміну cos x = t. Але перш, ніж її застосувати варто перетворити підінтегральну функцію.

 

 

в) Щоб спростити підінтегральну функцію, попередньо виконаємо заміну змінної

,

а потім застосуємо формулу зниження степеня:

г) Оскільки m+n — є парне від’ємне ціле число, те застосовуємо заміну tgх = t.

 

2. Інтеграли типу обчислюються за допомогою відомих формул тригонометрії:

 

Приклад 3.19. Знайти інтеграл

Розв’зання.

 

Безпосередньо підставляючи формулу добутку синусів, одержуємо:

 

 

 

Лекція 10. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

 

Основні поняття

Означення 1. Якщо функція визначена на відрізку і – розбиття відрізка з відзначеними точками , то сума називається інтегральною сумою функції , відповідної розбиттю з відзначеними точками .

Означення 2. Число називається визначеним інтегралом (Рімана) від функції на відрізку , якщо таке, що для будь-якого розбиття з відзначеними точками , для виконано співвідношення

Позначення

Теорема 1. Неперервна на відрізку функція – інтегровна.