При обчисленні інтегралів виду 
і 
з квадратного тричлена виділяють повний квадрат і його позначають через 
(метод заміни змінної).
Приклад 3.15. 
.
Розв’зання. Виділяємо із квадратного тричлена повний квадрат
Вважаючи 
, найдемо 
, 
. Будемо мати
Інтеграли від деяких ірраціональних функцій
Інтеграли від деяких ірраціональних функцій, які мають корені різних степенів від однієї і тієї ж функції, можна знайти, якщо замінити підкореневий вираз новою змінною зі степенем з показником найменшого спільного кратного показників степенів всіх коренів. Розглянемо приклади.
Приклад 3.16. 
Знайти невизначений інтеграл 
Розв’зання.
У відповіді доданок 
віднесено до постійної інтегрування С. Враховано так само, що 
Приклад 3.17. Знайти інтеграл 
.
Розв’зання.
В даному випадку позбудемось від ірраціональності заміною
Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій
1. Для знаходження інтегралів типу 
використо-вуються наступні прийоми:
1) підстановка sin x = t, якщо n — ціле додатне непарне число;
2) підстановка cos x = t, якщо m — ціле додатне непарне число;
3) формули зниження порядку:
якщо m і n — цілі невід’ємні парні числа;
4) підстановка tg х = t, якщо m + n — парне від’ємне ціле число.
Приклад 3.18. Знайти інтеграли:
а) 
; б) 
; в) 
г) 
Розв’зання.
а) Оскільки n — ціле додатне непарне число, то застосовуємо заміну sin x = t. Але перш, ніж її застосувати помножимо чисельник і знаменник підінтегральної функції на cos x.
Отриманий дріб легко розкладається на суму найпростіших дробів:
б) Оскільки m — ціле додатне непарне число, те застосовуємо заміну cos x = t. Але перш, ніж її застосувати варто перетворити підінтегральну функцію.
в) Щоб спростити підінтегральну функцію, попередньо виконаємо заміну змінної
,
а потім застосуємо формулу зниження степеня:
г) Оскільки m+n — є парне від’ємне ціле число, те застосовуємо заміну tgх = t.
2. Інтеграли типу 
обчислюються за допомогою відомих формул тригонометрії:
Приклад 3.19. Знайти інтеграл 
Розв’зання.
Безпосередньо підставляючи формулу добутку синусів, одержуємо:
Лекція 10. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Основні поняття
Означення 1. Якщо функція 
визначена на відрізку 
і 
– розбиття відрізка з відзначеними точками 
, то сума 
називається інтегральною сумою функції , відповідної розбиттю 
з відзначеними точками 
.
Означення 2. Число 
називається визначеним інтегралом (Рімана) від функції на відрізку , якщо 
таке, що для будь-якого розбиття 
з відзначеними точками 
, для 
виконано співвідношення 
Позначення 
Теорема 1. Неперервна на відрізку функція – інтегровна.
