Неявна функція та її диференціювання

 

Якщо функція у і аргумент х пов'язані рівнянням f(x,y) = 0, нерозв’язаним відносно у, то таке рівняння визначає неявну функцію у(х).

Наприклад, рівняння у³ - х² =0 неявно визначає функцію . Тут можна розв’язати рівняння відносно у, але в багатьох випадках це неможливо (наприклад, ). Неявна функція - це не новий вид функції, а просто спосіб її задання.

Треба знайти похідну неявної функції, не знаходячи у у явному виді. Для цього диференціюють обидві частини рівняння f(x,y)= 0(або f(x, у)=j(х, у ), враховуючи при цьому, що у є функція від х, і з отриманого співвідношення знаходять у'.

Приклад 2.39. знайти похідну від функції заданої неявно .

 

Розв’язання.

Функцію задано в неявному виді. Диференціюємо обидві частини рівняння, пам’ятаючи, що є функцією аргументу :

Розв’язуємо рівняння відносно у′; ; ,

 

Приклад 2.40. знайти похідну від функції заданої неявно .

Розв’язання.

Диференціюємо обидві частини рівняння і, з огляду на те, що у є функцією від х. Маємо: .

Звідси ; .

Приклад 2.41. знайти похідну від функції, заданої неявно .

Розв’язання. Диференціюємо, враховуючи, що у є функцією від х. Маємо: .

Контрольний тест.

Знайдіть похідні функцій, заданих неявно наступними рівняннями.

 

	Функція	Відповіді		Функція	Відповіді

 

Логарифмічне диференціювання

для знаходження похідної від степенево-показникової функції , де функції диференційовані по х, необхідно спочатку функцію прологарифмувати, а потім продиференціювати, вважаючи у складною функцією. Отримане рівняння розв’язують відносно . Така операція називається логарифмічним диференціюванням.

Приклад 2.41. знайти похідну від функції: .

 

Розв’язання. Це степенево – показникова функція. Логарифмуємо

, . Вважаючи неявно заданою функцією, знаходимо похідні лівої та правої частин рівняння. В лівій частині міститься функція ln(y), а в правій - добуток двох функцій, і для його диференціювання потрібно використати формулу похідної добутку

 

.

 

Знайдемо , причому записуємо у заданому вигляді

 

Логарифмічне диференціювання доцільно застосовувати до функції, що містить операції, які логарифмуються: множення, ділення, піднесення до степеня.

Приклад 2.42. знайти похідну від функції:

 

 

Розв’язання. Використання звичайних формул і правил диференціювання в даному випадку приведе до громіздких викладок. Тут доцільно застосувати логарифмічне диференціювання. Логарифмуємо обидві частини даної рівності:

 

 

Одержали неявну функцію. Диференціюємо обидві частини рівності, з огляду на те, що ln у є складною функцією від х, та у залежить від х:

 

Звідси знаходимо:

 

 

Похідні вищих порядків

 

Похідна функції y = f(x), в загальному випадку, також є функцією, тому її також можна диференціювати. В результаті одержимо функцію, що називається похідною другого порядку або другою похідною функції f(x).

Її позначають одним із символів: у", .

Читається: у" - (ігрек два штрих), - (де два ігрек по де ікс квадрат).

Якщо S = f(t) - закон прямолінійного руху точки, то, за визначенням, прискорення руху в момент часу t дорівнює другій похідній . Це означення природно відображає суть прискорення як швидкість зміни швидкості.

Диференціюючи похідну другого порядку, одержимо похідну третього порядку або третю похідну.

Її позначають одним із символів: . Читається: - (ігрек три штрих), - (де три ігрек по де ікс куб).

Похідна п-го порядку – це похідна від похідної (п - 1)-го порядку.

Позначення:

 

.

 

Позначення за допомогою штрихів вживаються до похідної 3-го порядку. Далі застосовують позначення:

 

або .

 

Приклад 2.43. Зайти другу похідну від функції: .

 

Розв’язання. Перша похідна:

Вона представляє собою добуток сталої величини та двох функцій від х Тому

 

Приклад 2.44. знайти другу похідну від функції:

 

.

Розв’язання.

Перша похідна:

 

.

 

Приклад 2.45. знайти четверту похідну від функції:

.

 

Розв’язання. , , ,

.

 

Приклад 2.46. знайти похідну четвертого порядку від функції: .

 

Розв’язання.

Зауваження. Функція має похідну будь-якого порядку.

 

Диференціал

Диференціалом функції в точці х називається добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу:   (2.17)

Диференціал функції - це умовний приріст, якого функція набула б на відрізку за умови, що вона змінюється в інтервалі рівномірно, зберігаючи ту швидкість, що мала на початку інтервалу. У цьому полягає суть диференціала.

Знайдемо диференціал функції . Маємо . Таким чином, диференціаларгументудорівнює приросту аргументу, тобто диференціал функції можна записати у вигляді dy = y'dx.

Диференціал функції у вигляді dy = y'dx застосовується набагато частіше. Це пов’язано з тим, що записаний у вигляді dy = y'dx диференціал має важливу властивість інваріантості, яка полягає у тому, що форма диференціалу dy = y'dx не залежить від того, чи є х незалежною змінною чи залежить від іншого аргументу.

Приклад 2.47. Знайти диференціал функції:

Розв’язання. Знаходимо похідну функції

 

 

Розглянемо співвідношення між приростом функції і її диференціалом при . З визначення похідної випливає, що

 

або (2.18)

 

при . - нескінченно мала вищого порядку малості у порівнянні не тільки з , але і з , тому диференціал є головною частиною приросту функції. На цьому засновано використання диференціалу для наближених обчислень:

 

. (2.19)

 

Приклад 2.48. обчислити наближено .

Розв’язання. Представимо Використаємо як математичну модель функцію . За формулою (2.17) отримуємо:

 

.

 

Приймаємо , та .