Задачі, що приводять до поняття похідної
Поняття похідної є одним з основних математичних понять. Похідна широко використовується при розв’язуванні цілої низки задач математики, фізики, економіки, інших наук. Необхідність у використанні похідної виникає тоді, коли ставиться задача, наприклад, визначити швидкість протікання процесів, побудувати функцію, що приблизно описує поведінку заданої, обчислити похибки вимірювань.
Швидкість прямолінійного руху
Нехай матеріальна точка (деяке тіло) М рухається нерівномірно по деякій прямій. Кожному значенню часу t відповідає певна відстань ОМ = S до деякої фіксованої точки О. Цявідстань залежить від часу t, що минув, тобто S= S (t).
Цю рівність називають законом руху точки. Необхідно знайти швидкість руху точки.
Якщо в деякий момент часу t точка займає положення М, то у момент часу t+∆t (∆t – приріст часу) точка займе положення M1, де ОM1 = S + ∆S (∆S – приріст відстані). Таким чином, переміщення точки М за час ∆t буде ∆S = S (t + ∆t) – S (t).
Відношення 
виражає середню швидкість руху точки за час ∆t:
Середня швидкість залежить від значення ∆t: чим менше ∆t, тим точніше середня швидкість виражає швидкість руху точки в даний момент часу t.
Межа середньої швидкості руху при прагненні до нуля проміжку часу ∆t називається швидкістю руху точки в даний момент часу (або миттєвою швидкістю). Позначивши цю швидкість через V, отримаємо
або 
= 
(2.10)
Дотична до кривої
Дамо спочатку загальне визначення дотичної до кривої.
Візьмемо на неперервній кривій L дві точки М і М1 (див. рис. 2.5).
Пряму M M1, що проходить через ці точки, називають січною.
Нехай точка М1, рухаючись уздовж кривої L, необмежено наближається до точки М. Тодісічна, повертаючись біля точки М, прямує до деякого граничного положення МТ.
Дотичною до даної кривої в даній точці М називається граничне положення МТ січної MM1, що проходить через точку М, коли друга точка перетину M1 необмежено наближається по кривій до точки M.
| 
|
| Рис. 2.5 | Рис. 2.6 |
Розглянемо тепер графік неперервної кривої у = f(x), який має в точці М (х;у) невертикальну дотичну. Знайдемо її кутовий коефіцієнт, 
, де a – кут дотичної з віссю Ох.
Для цього проведемо через точку М і точку M1 графіка з абсцисою х+ ∆ х січну (див. рис. 2.6). Позначимо через j — кут між січною MM1 і віссю Ох. На рисунку видно, що кутовий коефіцієнт січної дорівнює
При 
через неперервність функції приріст ∆ y теж прямує до нуля; тому точка M 1 необмежено наближається по кривій до точки М, а січна MM 1, повертаючись біля точки М, переходить в дотичну. Кут, 
тобто 
. Звідси отримуємо геометричний зміст похідної
(2.11)
