1. Якщо функції f (x) і j (x) неперервнів точці х 0, то їхня сума f (x) + j (x), добуток f (x) j (x) і частка 
(j (x 0) 
0) є функціями, неперервнимив точці х 0.
2. Якщо функція у = f (x) неперервнав точці х 0 і f (x 0) > 0, то існує такий окіл точки х 0, у якому f (x) > 0.
3. Якщо функція у = f (u) неперервнав точці u 0, а функція u = j (x) неперервнав точці u 0 = j (x 0), то складна функція у = f (j (x)) неперервнав точці х 0.
| Якщо хоча б одне з трьох умов визначення неперервності функції не виконується, то функція f (x) називається розривною у точці х 0, а точка х 0 називається точкою розриву. |
| Функція неперервнав кожній точці деякої області (інтервалу, відрізку) називається неперервною в цій області (в інтервалі, на відрізку). |
Властивості функцій, неперервних на відрізку
Якщо функція f (x) неперервнана відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку.
Якщо функція f (x) неперервнана відрізку, то вона досягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значень.
Якщо функція f (x) неперервнана відрізку [ a, b ] і значення на кінцях відрізка f (a) і f (b) мають протилежні знаки, то усередині відрізка знайдеться точка с 
(a, b) така, що f (с) = 0.
Приклад 2.29. Дослідити неперервність функції f (x) = 
у точці х = 1. Побудувати графік функції.
Розв’язання. У точці х = 1 функція f (x) = має розрив, оскільки порушена перша умова неперервності – існування f (1), що видно з рис. 2.1.
рис.2.1. Графік функції f (x) = .
Приклад 2.30. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції
f (x) = 
.
Розв’язання. Уточці х = 0 функція f (x) = має розрив, оскільки порушена друга умова неперервності – відсутня границя функції при х, яке наближається до х 0=0, тобто 
, однак існують однобічні границі функції ліворуч 
і праворуч 
. (рис.2.2).
Рис. 2.2. Графік функції f (x) = .
Приклад 2.31. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції
f (x) = 
. Побудувати графік функції.
Розв’язання. Уточці х = 0 функція f (x) = має розрив, оскільки порушена третя умова неперервності – границя функції при х, яке наближається до х 0 не дорівнює значенню функції в точці х 0, тобто 
(рис. 2.3). При цьому перша умова неперервності виконана, тому що f (0) існує і f (0) = 1, друга умова неперервності виконана, тобто існує границя функції при х яке наближається до х 0, тобто 
.
Рис. 2.3
Приклад 2.32. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції f (x) = 
. Побудувати графік функції.
Розв’язання. Уточці х = 0 функція f (x) = неперервна, оскільки виконані всі три умови неперервності 
= 0, що видно з рис. 2.4.
Рис. 2.4 – Графік функції f (x) = .
Типи точок розриву
Точки розриву бувають першого і другого роду.
Точка розриву х 0 функції f (x) називається точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні односторонні границі функції f (x) праворуч і ліворуч при x ® х 0, не рівні між собою, тобто
 .
|
Точка розриву х 0 функції f (x) називається усувною, якщо границя функції існує, тобто  . f (x) при x ® х 0, але не дорівнює значенню функції в цій точці,
 .
|
| Точка розриву х 0 функції f (x) називається точкою розриву другого роду, якщо хоча б одна з односторонніх границь функції f (x) праворуч або ліворуч при x ® х 0, дорівнює нескінченності або не існує. |
Так у розглянутих вище прикладах маємо наступні точки розриву.
У прикладі 2.29 у точці х = 1 маємо розрив другого роду. У прикладі 2.30 у точці х = 0 маємо розрив першого роду. У прикладі 2.31 у точці х = 0 маємо усувний розрив.
Приклад 2.33. Який розрив має функція 
?
Розв’язання. У точці 
функція 
не існує. Лівостороння границя 
, а правостороння 
.
Оскільки кожна з односторонніх границь нескінченна, то х = 3 є точкою розриву другого роду.
Приклад 2.34. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції f (x) = 
.
Розв’язання. Уточці х = 0 функція f (x) = не визначена, отже, вона розривна в цій точці. Для з'ясування типу точки розриву знайдемо односторонні границі: 
, 
.
Оскільки одна з односторонніх границь нескінченна, то х = 0 є точкою розриву другого роду.
