Властивості функцій, неперервних у точці

1. Якщо функції f (x) і j (x) неперервнів точці х ₀, то їхня сума f (x) + j (x), добуток f (x) j (x) і частка (j (x ₀) 0) є функціями, неперервнимив точці х ₀.

2. Якщо функція у = f (x) неперервнав точці х ₀ і f (x ₀) > 0, то існує такий окіл точки х ₀, у якому f (x) > 0.

3. Якщо функція у = f (u) неперервнав точці u ₀, а функція u = j (x) неперервнав точці u ₀ = j (x ₀), то складна функція у = f (j (x)) неперервнав точці х ₀.

Якщо хоча б одне з трьох умов визначення неперервності функції не виконується, то функція f (x) називається розривною у точці х 0, а точка х 0 називається точкою розриву.

Функція неперервнав кожній точці деякої області (інтервалу, відрізку) називається неперервною в цій області (в інтервалі, на відрізку).

 

Властивості функцій, неперервних на відрізку

 

Якщо функція f (x) неперервнана відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку.

Якщо функція f (x) неперервнана відрізку, то вона досягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значень.

Якщо функція f (x) неперервнана відрізку [ a, b ] і значення на кінцях відрізка f (a) і f (b) мають протилежні знаки, то усередині відрізка знайдеться точка с (a, b) така, що f (с) = 0.

Приклад 2.29. Дослідити неперервність функції f (x) = у точці х = 1. Побудувати графік функції.

Розв’язання. У точці х = 1 функція f (x) = має розрив, оскільки порушена перша умова неперервності – існування f (1), що видно з рис. 2.1.

рис.2.1. Графік функції f (x) = .

Приклад 2.30. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції

 

f (x) = .

 

Розв’язання. Уточці х = 0 функція f (x) = має розрив, оскільки порушена друга умова неперервності – відсутня границя функції при х, яке наближається до х ₀=0, тобто , однак існують однобічні границі функції ліворуч і праворуч . (рис.2.2).

Рис. 2.2. Графік функції f (x) = .

Приклад 2.31. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції

f (x) = . Побудувати графік функції.

Розв’язання. Уточці х = 0 функція f (x) = має розрив, оскільки порушена третя умова неперервності – границя функції при х, яке наближається до х ₀ не дорівнює значенню функції в точці х ₀, тобто (рис. 2.3). При цьому перша умова неперервності виконана, тому що f (0) існує і f (0) = 1, друга умова неперервності виконана, тобто існує границя функції при х яке наближається до х ₀, тобто .

Рис. 2.3

Приклад 2.32. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції f (x) = . Побудувати графік функції.

 

Розв’язання. Уточці х = 0 функція f (x) = неперервна, оскільки виконані всі три умови неперервності = 0, що видно з рис. 2.4.

Рис. 2.4 – Графік функції f (x) = .

Типи точок розриву

Точки розриву бувають першого і другого роду.

Точка розриву х 0 функції f (x) називається точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні односторонні границі функції f (x) праворуч і ліворуч при x ® х 0, не рівні між собою, тобто   .

Точка розриву х 0 функції f (x) називається усувною, якщо границя функції існує, тобто . f (x) при x ® х 0, але не дорівнює значенню функції в цій точці,   .

Точка розриву х 0 функції f (x) називається точкою розриву другого роду, якщо хоча б одна з односторонніх границь функції f (x) праворуч або ліворуч при x ® х 0, дорівнює нескінченності або не існує.

Так у розглянутих вище прикладах маємо наступні точки розриву.

У прикладі 2.29 у точці х = 1 маємо розрив другого роду. У прикладі 2.30 у точці х = 0 маємо розрив першого роду. У прикладі 2.31 у точці х = 0 маємо усувний розрив.

 

Приклад 2.33. Який розрив має функція ?

Розв’язання. У точці функція не існує. Лівостороння границя , а правостороння .

Оскільки кожна з односторонніх границь нескінченна, то х = 3 є точкою розриву другого роду.

 

Приклад 2.34. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції f (x) = .

Розв’язання. Уточці х = 0 функція f (x) = не визначена, отже, вона розривна в цій точці. Для з'ясування типу точки розриву знайдемо односторонні границі: , .

Оскільки одна з односторонніх границь нескінченна, то х = 0 є точкою розриву другого роду.