якщо f (x) і j (x) – нескінченно малі при x ® а, причому а може бути як числом, так одним із символів 
, тоді справедливі наступні визначення.
Якщо  , то f (x) називається нескінченномалою вищого порядку малості, у порівнянні з функцією j (x), а функція j (x) називається нескінченномалою нижчого порядку малості, у порівнянні з f (x).
|
Якщо  , то f (x) називається нескінченно малою нижчого порядку малості, у порівнянні з j (x), а j (x) називається нескінченномалою вищого порядку малості, у порівнянні з функцією f (x).
|
Якщо  і  , то нескінченно малі f (x) і j (x) називаються нескінченномалими одного порядку.
|
Якщо  , то нескінченно малі f (x) і j (x) називаються еквівалентними. Позначення f (x) ~ j (x).
|
Якщо  і , то f (x) називається нескінченномалою k-го порядку малості, у порівнянні з j (x).
|
| Границя відношення двох нескінченно малих не зміниться, якщо кожну з них або яку-небудь одну замінити еквівалентними ним. |
При обчисленні границь функцій зручно користатися такими основними еквівалентностями.
Основні еквівалентності при 
, 
, 
, 
,
, 
, 
.
Приклад 2.17. Довести, що функції 
і 
при x ® 0 є нескінченно малими одного порядку.
Розв’язання. Знайдемо границю відношення заданих функцій:
.
Таким чином, дані функції є нескінченно малими одного порядку.
Приклад 2.18. Чи єеквівалентними функції 
і при x ® 0?
Розв’язання. Знайдемо границю відношення цих функцій:
.
Таким чином, функція є нескінченно малою більш високого порядку, ніж функція , тобто дані функції не еквівалентні.
Приклад 2.19. Довести,щонескінченно малі функції 
і 
при x ®0 є еквівалентними.
Розв’язання. Очевидно, що 
. Отже, і при x ® 0 еквівалентні.
Визначні границі
Перша визначна границя.
При обчисленні границь тригонометричних виразів часто використовують формулу
. (2.5)
Формула (2.5) називається першою визначною границе ю і застосовується для розкриття невизначеностей виду 
.
Справедливі наступні відношення:
, 
, 
. (2.6)
Приклад 2.20. Знайти границю 
.
Розв’язання. При х 
0, 7 х також прямує до нуля, тому, помноживши чисельник і знаменник на 7, одержимо
.
Зауваження. Вирази
називаються робочими формулами першої визначної границі.
Приклад 2.21. Знайти границю: 
.
Розв’язання. Використовуємо робочу формулу першої визначної границі та знаходимо квадрат границі, отримуємо:
.
Приклад 2.22. Знайти границю 
.
Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому, замінюючи 
еквівалентним 
, отримуємо:
.
Приклад 2.23. Знайти границю 
.
Розв’язання. 
за формулою (2.5), тому що 
при 
.
Друга визначна границя
Вираз
(2.7)
називається другою визначною границею. число e ірраціональне. Наближене значення e» 2,7182818. Співвідношення (2.7) можна записати у виді
. (2.8)
Другу визначну границюзастосовують при розкритті невизначеності 
.
Приклад 2.24. Знайти границю 
.
Розв’язання. При х 
, маємо невизначеність тому, перетворюючи вираз, що знаходиться під знаком границі, одержимо
.
Зауваження. Вирази:
,
. (2.9)
є робочими формулами другої визначної границі.
Приклад 2.25. Знайти границю 
.
Розв’язання. При х , маємо невизначеність . використовуємо властивість 
.
Приклад 2.26. Знайти границю 
.
Розв’язання. Спочатку перетворимо вираз, що стоїть під знаком границі, використовуючи властивості логарифмів
Приклад 2.27. Знайти границю 
.
Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому, виконавши перетворення з використанням властивостей логарифмів, одержимо
.
Приклад 2.28. Знайти границю 
.
Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому переходимо до нової змінної:
Неперервність функції
