Порівняння нескінченно малих

 

якщо f (x) і j (x) – нескінченно малі при x ® а, причому а може бути як числом, так одним із символів , тоді справедливі наступні визначення.

Якщо , то f (x) називається нескінченномалою вищого порядку малості, у порівнянні з функцією j (x), а функція j (x) називається нескінченномалою нижчого порядку малості, у порівнянні з f (x).

Якщо , то f (x) називається нескінченно малою нижчого порядку малості, у порівнянні з j (x), а j (x) називається нескінченномалою вищого порядку малості, у порівнянні з функцією f (x).

Якщо і , то нескінченно малі f (x) і j (x) називаються нескінченномалими одного порядку.

Якщо , то нескінченно малі f (x) і j (x) називаються еквівалентними. Позначення f (x) ~ j (x).

Якщо і , то f (x) називається нескінченномалою k-го порядку малості, у порівнянні з j (x).

Границя відношення двох нескінченно малих не зміниться, якщо кожну з них або яку-небудь одну замінити еквівалентними ним.

При обчисленні границь функцій зручно користатися такими основними еквівалентностями.

 

Основні еквівалентності при

, , , ,

 

, , .

 

Приклад 2.17. Довести, що функції і при x ® 0 є нескінченно малими одного порядку.

Розв’язання. Знайдемо границю відношення заданих функцій:

 

.

 

Таким чином, дані функції є нескінченно малими одного порядку.

 

Приклад 2.18. Чи єеквівалентними функції і при x ® 0?

Розв’язання. Знайдемо границю відношення цих функцій:

 

.

Таким чином, функція є нескінченно малою більш високого порядку, ніж функція , тобто дані функції не еквівалентні.

Приклад 2.19. Довести,щонескінченно малі функції і при x ®0 є еквівалентними.

Розв’язання. Очевидно, що . Отже, і при x ® 0 еквівалентні.

Визначні границі

Перша визначна границя.

При обчисленні границь тригонометричних виразів часто використовують формулу

. (2.5)

 

Формула (2.5) називається першою визначною границе ю і застосовується для розкриття невизначеностей виду .

Справедливі наступні відношення:

 

, , . (2.6)

Приклад 2.20. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, 7 х також прямує до нуля, тому, помноживши чисельник і знаменник на 7, одержимо

.

 

Зауваження. Вирази

 

називаються робочими формулами першої визначної границі.

 

Приклад 2.21. Знайти границю: .

Розв’язання. Використовуємо робочу формулу першої визначної границі та знаходимо квадрат границі, отримуємо:

 

.

Приклад 2.22. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому, замінюючи еквівалентним , отримуємо:

 

.

Приклад 2.23. Знайти границю .

Розв’язання. за формулою (2.5), тому що при .

Друга визначна границя

Вираз

(2.7)

 

називається другою визначною границею. число e ірраціональне. Наближене значення e» 2,7182818. Співвідношення (2.7) можна записати у виді

 

. (2.8)

 

Другу визначну границюзастосовують при розкритті невизначеності .

Приклад 2.24. Знайти границю .

Розв’язання. При х , маємо невизначеність тому, перетворюючи вираз, що знаходиться під знаком границі, одержимо

 

.

 

Зауваження. Вирази:

 

,

. (2.9)

 

є робочими формулами другої визначної границі.

Приклад 2.25. Знайти границю .

Розв’язання. При х , маємо невизначеність . використовуємо властивість .

 

 

 

Приклад 2.26. Знайти границю .

Розв’язання. Спочатку перетворимо вираз, що стоїть під знаком границі, використовуючи властивості логарифмів

Приклад 2.27. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому, виконавши перетворення з використанням властивостей логарифмів, одержимо

.

 

Приклад 2.28. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому переходимо до нової змінної:

 

Неперервність функції