Властивості нескінченно малих величин

 

1. Нескінченно мала величина обмежена.

2. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих величин є нескінченно малою.

3. Добуток нескінченно малої на обмежену або на постійне число є нескінченно малою.

4. Добуток скінченного числа нескінченно малих є нескінченно малою величиною.

 

Зауваження. Відношення двох нескінченно малих величин може бути величиною скінченною, нескінченно малою і нескінченно великою. Відношення двох нескінченно малих величин являє собою “невизначеність” виду .

Теорема

Для того, щоб { xn } збігалась до числа а, необхідно і достатньо, щоб an = xn – а була нескінченно малою.

З теореми випливає, що змінну величину { x_n }, яка має границю, можна записати у вигляді суми постійної (границі а) і нескінченно малої:

 

x_n = a_n + а.

 

Нескінченно великі величини

Змінна величина xn називається нескінченно великою, якщо для будь-якого як завгодно великого числа M > 0 починаючи з деякого номера N для всіх n > N виконується нерівність xn > M.

Для позначення нескінченно великої послідовності { x_n } використовується такий запис або запис при .

Члени нескінченно великих послідовностей необмежено зростають.

Зауваження. Символ “ ” не є числом, тому нескінченно великі послідовності границі не мають. Але прийнято говорити, що нескінченно велика має нескінченну границю, щоб виділити її серед інших послідовностей, що не мають границі, але не є нескінченно великими.

Приклади нескінченно великих: n, n ², 10 ⁿ, n!.

 

Властивості нескінченно великих величин

 

1. Сума нескінченно великої й обмеженої є нескінченно великою.

2. Сума двох нескінченно великих однакового знаку є нескінченно велика.

3. Добуток двох нескінченно великих є нескінченно великою.

4. Добуток нескінченно великої на сталу додатну величину є нескінченно велика величина.

 

Зауваження 1. Відношення двох нескінченно великих величин може бути величиною скінченною, нескінченно малою і нескінченно великою. Відношення двох нескінченно великих величин є “невизначеність” виду .

Зауваження 2. Різниця двох нескінченно великих величин може бути величиною скінченною, нескінченно малою і нескінченно великою. Різниця двох нескінченно великих величин являє собою “невизначеність” виду .

 

Зв'язок між нескінченно великими і нескінченно малими величинами

Якщо x_n – нескінченно мала, то – нескінченно велика. І, навпаки, якщо y_n – нескінченно велика, то – нескінченно мала, (с = const ¹ 0).

Границя функції

Розглянемо функцію , визначену на деякому проміжку Х Ì R. Нехай аргумент х приймає такі значення

х ₁, х ₂,…, х_n,… (2.2)

 

де . Відповідні значення функції утворюють:

 

у ₁, у ₂,…, у_n,… (2.3)