Свойства аксиоматических систем

Математические структуры и аксиоматические теории

Понятие отношений между объектами

Принято считать, что всякое отношение выражает связи между объектами или, что то же, элементами x, y, …, некоторых множеств A ' x, B ' y, …. Отношения между двумя элементами x Î A и y Î B называют двухместными или бинарными отношениями. Все такие отношения будем обозначать Ð(x, y), x Î A, y Î B. Отношение Ð (x, y) можно представлять разными способами: описывать словами, изображать чертежами и задавать формулами. Удобным является «язык» множеств. Всякое отношение Ð(x, y) определяет множество P (x, y) упорядоченных пар (x, y) некоторых элементов x Î A и y Î B по следующему правилу:

(x, y) Î P Û {выполняется Ð (x, y)} (1)

Множество упорядоченных пар (x, y) " x Î A и " y Î B называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается A ´ B.

Следствие 1

Всякое бинарное или двухместное отношение Ð(x, y) между элементами x, y двух множеств A ' x и B ' y представляется некоторым подмножеством P (x, y)Ì A ´ B по закону (1). Обратно, всякое подмножество P Ì A ´ B по этому же закону (1) представляет некоторое отношение Ð(x, y).

Пример 1

Пусть A = B = R – множество действительных чисел. Тогда R ´ R есть декартово произведение евклидовых прямых. Это произведение представляет собой арифметическую модель евклидовой плоскости. (Другими словами, множество числовых упорядоченных пар (x, y), " x Î R, " y Î R представляет все точки евклидовой плоскости.)

Определение

Отношение Ð (x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его Ð (x,y) º (x~y), если выполняются три условия:

Рефлексивности x~x;

Симметричности: если x~y, то y~x;

Транзитивности: если, x~y, y~z, то x~z.

Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и т.д.

Любое отношение эквивалентности Ð(x, y) для (x, y)Î M ´ M определяет новое множество классов эквивалентности: два элемента x, y Î M попадают в один класс тогда и только тогда, когда x ~ y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством M по отношению Ð и обозначается M /Ð или M / P, что равносильно в силу следствия 1.

Отношение эквивалентности разбивает множество M на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение M на непересекающиеся классы задает на M отношение эквивалентности. Действительно, если M = M È M È…È M … и M Ç M =Æ при i ¹ j, то отношение принадлежности элементов одному классу (x Î M )Ù(y Î M )ºÐ(x, y) удовлетворяет условиям 1) – 3) отношения эквивалентности.

Следствие 2

Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множеств на непересекающиеся подмножества.

Аналогично двухместному определяются n –местные отношения между элементами x Î A ,…, x Î A некоторых множеств A , …, A .

Декартово произведение A ´ A ´…´ A есть множество упорядоченных наборов (x , x ,…, x ) элементов x Î A ,…, x Î A . n –местное отношение Ð(x ,…, x ) представляется некоторым подмножеством P Ì A ´ A ´…´ A по закону

 

{ Ð(x , x ,…, x ) выполняется} Û (x , x ,…, x )Î P Ì A ´ A ´…´ A