Модель Вейля евклидовой геометрии

Арифметизация трехмерного евклидова пространства

Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2. Эту модель будем обозначать e³ и называть евклидовым пространством.

Построим арифметическую, или координатную, модель евклидова пространства e³, используя координатную модель евклидова векторного пространства , построенную в §3. Для этого введем операцию откладывания вектора. Эта операция сопоставляет всяким двум точкам A,B Îe³ вектор и обозначается как отображение . Операцию можно представить как изображение направленного отрезка и определить следующими основными свойствами.

Свойства операции откладывания вектора

Для всякой фиксированной точки A₀ Îe³ и произвольной точки B Îe³ отображение

(1)

является взаимно однозначным отображением точек B Îe³ на множество векторов .

(Аксиома треугольников). Для любых трех точек A,B,C Îe³ справедливо равенство

.

(Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0Îe³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки .

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве e³, а вектор – радиус–вектором точки в этом пространстве. Координатами точки M Îe³ называют координаты радиус–вектора (рис. 7), где , , – направленные отрезки в e³, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в e³ приходим к векторному равенству

. (2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0Îe³, представляет взаимно однозначное соответствие между точками M Îe³ и арифметическими упорядоченными тройками чисел и является определяющим равенством для координат точек евклидова пространства.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойствами скалярного произведения (4), (6), (7), (8) из §3, а также свойством 1 операции откладывания отрезка.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину

(3)

Пусть = (u ₁, v ₁, w ₁) и = (u ₂, v ₂, w ₂) – направленные отрезки в e³ и пусть их координаты (u ₁, v ₁, w ₁) (u ₁, v ₁, w ₁) в Е³. Тогда, используя формулы (4), (7) и (8) из §3, получаем формулу для косинуса угла между и

(4)

Определение

Арифметической, или координатной, моделью евклидова пространства e³ называется множество упорядоченных троек чисел, определяемых соответствием ( 2 ) вместе с формулами длины отрезка ( З ) и углов между направленными отрезками ( 4 ), выраженными через скалярное произведение. Арифметическую модель трехмерного евклидова пространства будем обозначать R ³.

Вывод 1

Для построения модели R ³ требуется задать или построить:

геометрическую модель трехмерного векторного пространства (модель направленных отрезков e³);

изоморфную модель координатного векторного пространства Е ³;

операцию откладывания вектора (1);

скалярное произведение, посредством которого вычисляются длины и

углы.

Основные объекты геометрии – точки, прямые и плоскости в R ³ определяются на «языке» векторов и координат. Например, пусть плоскость П определяется точкой M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) и вектором нормали (A, B, C). Это эквивалентно тому, что если М (x, y, z) – произвольная точка плоскости П, то , что эквивалентно условию ( )=0, или в координатной форме П:

(x – x ₀) A +(y – y ₀) B +(z – z ₀) C =0

Таким образом, искомая плоскость П в R ³ – это множество троек чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению.

Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в R ³ и их метрические характеристики: длина, углы, площади и т.д.

Вывод 2

Решение геометрических задач в модели R ³ сводится к решению систем уравнений.