Выражения вида a 
+b 
+…+g 
называются линейными комбинациями векторов с действительными числами.
Теорема размерности
1. 
Пусть вектор параллелен вектору 
1, тогда существует x Î R такое, что = x 1.
2. Пусть векторы лежат в плоскости П и 1 не параллелен 2. Тогда всякий вектор Î П есть линейная комбинация векторов 1 и 2:
= х 1 + у 2.
3. Пусть векторы 1, 2 и 3 не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор 
есть их линейная комбинация:
= x 1 + y 2 + z 3
Доказательство проведем только для случая 2.
Выберем произвольную точку О на плоскости П и отложим из нее векторы 1, 2 и . На направления О 1 и О 2 отложим направленные проекции вектора (рис. 6), обозначив их, соответственно, х 2 и у 2. Тогда получим требуемое равенство = х 1 + у 2. Случай 2 доказан. Случай 1 – тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.
Будем говорить, что векторы 1 и 2 на рис. 6 образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.
Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.
Вывод 1
Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно однозначное соответствие
↔(x,y,z), (1)
определяемое разложением вектора в заданном базисе: 
.
Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел 
арифметической или координатной моделью трехмерного векторного пространства, покажем, что операции сложения векторов и умножения на число определены в координатной форме и, что координаты вектора определяют его длину и направление.
Для удобства будем считать, что 
, 
, 
– известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов. Для простоты также ограничимся случаем плоскости.
Пусть 
, 
. Тогда 
и 
элементы геометрической модели и для них определена сумма
.
Учитываем, что 
, 
, 
и 
также элементы геометрической модели и, используя свойства 1–4 сложения и свойства 1–4 умножения, получаем
Согласно соответствию (1), установленному выше, заключаем, что 
– координаты вектора 
. Аналогично показывается, что вектор 
имеет координаты 
.
Используя теорему Пифагора, находим длину вектора на плоскости
и в пространстве
.
Наконец, для противоположного вектора 
находим координаты: 
.
Вывод 2
Координаты 
вектора определяют его длину и направление. В координатной форме определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов требует в точности восемь свойств сложения и умножения, доказанных в геометрической модели. Поэтому эти восемь свойств называют аксиомами модели векторного пространства.
Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение
На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число определяет арифметическую модель векторного пространства.
Попутно мы устанавливаем следующее свойство.
Вывод 3
Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимно однозначное соответствие (1), обозначим его
, 
. (2)
Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число
(3)
и называется изоморфизмом арифметической и геометрической моделей векторного пространства.
