Арифметическая модель векторного пространства

Выражения вида a +b +…+g называются линейными комбинациями векторов с действительными числами.

Теорема размерности

1. Пусть вектор параллелен вектору ₁, тогда существует x Î R такое, что = x ₁.

2. Пусть векторы лежат в плоскости П и ₁ не параллелен ₂. Тогда всякий вектор Î П есть линейная комбинация векторов ₁ и ₂:

= х ₁ + у ₂.

3. Пусть векторы ₁, ₂ и ₃ не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор есть их линейная комбинация:

= x ₁ + y ₂ + z ₃

Доказательство проведем только для случая 2.

Выберем произвольную точку О на плоскости П и отложим из нее векторы _{1, 2} и . На направления О ₁ и О ₂ отложим направленные проекции вектора (рис. 6), обозначив их, соответственно, х ₂ и у ₂. Тогда получим требуемое равенство = х ₁ + у ₂. Случай 2 доказан. Случай 1 – тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.

Будем говорить, что векторы ₁ и ₂ на рис. 6 образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.

Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.

Вывод 1

Если в пространстве задан базис { ₁, ₂, ₃}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно однозначное соответствие

↔(x,y,z), (1)

определяемое разложением вектора в заданном базисе: .

Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел арифметической или координатной моделью трехмерного векторного пространства, покажем, что операции сложения векторов и умножения на число определены в координатной форме и, что координаты вектора определяют его длину и направление.

Для удобства будем считать, что , , – известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов. Для простоты также ограничимся случаем плоскости.

Пусть , . Тогда и элементы геометрической модели и для них определена сумма

.

Учитываем, что , , и также элементы геометрической модели и, используя свойства 1–4 сложения и свойства 1–4 умножения, получаем

Согласно соответствию (1), установленному выше, заключаем, что – координаты вектора . Аналогично показывается, что вектор имеет координаты .

Используя теорему Пифагора, находим длину вектора на плоскости

и в пространстве

.

Наконец, для противоположного вектора находим координаты: .

Вывод 2

Координаты вектора определяют его длину и направление. В координатной форме определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов требует в точности восемь свойств сложения и умножения, доказанных в геометрической модели. Поэтому эти восемь свойств называют аксиомами модели векторного пространства.

Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение

На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число определяет арифметическую модель векторного пространства.

Попутно мы устанавливаем следующее свойство.

Вывод 3

Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимно однозначное соответствие (1), обозначим его

, . (2)

Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число

(3)

и называется изоморфизмом арифметической и геометрической моделей векторного пространства.