Всякий предметный или искусственный язык состоит из следующих компонентов:
1. Алфавит (конечный список исходных символов).
2. Правила построения термов (имен и именных форм).
3. Правила построения формул (высказываний и высказывательных форм).
4. Интерпретации языка.
Пункты 1–3 представляют синтаксис языка; пункт 4 – семантику языка.
Искусственный язык является математическим языком и носит исключительно информативный характер. В этих языках используются только повествовательные предложения (высказывания). Формы мышления, не представляющиеся повествовательными предложениями, в этих языках невыразимы.
Самым простым искусственным языком является язык математической логики первого порядка [11].
Предметные языки – геометрический и теории множеств считаются более сложными, так как содержат отношения включения и другие, не заданные в языке логики первого порядка.
Искусственные языки делятся по уровням сложности в зависимости от типов отношений, которые они описывают.
Описание свойств моделей в зависимости от уровня языка требует специальных сведений по математической логике [11] которые не входят в круг рассматриваемых нами вопросов.
Мы ограничимся нестрогим анализом текстов некоторых парадоксов, используя лишь понятия модели, совместимости, независимости и категоричности систем аксиом.
Понятие парадокса
Проблема выразимости отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моделям разного уровня сложности. Эти несоответствия мы обнаруживаем в виде различных парадоксов.
Парадоксами будем называть текстовое утверждение, логическое следствие которого приводит к противоречиям.
Мы выделим два типа соответствия между языками моделей.
Первый тип. Согласно выводу 3, §6, изоморфизм мыслимой модели на некоторою внешнюю модель дает возможность “воспринимать объект” или, наоборот, “выражать мысль в виде каких–то внешних отношений”. При этом внешние отношения фиксируются в виде некоторого текста.
Второй тип. Соответствие между языками моделей представляется структурными изоморфизмами.
Рассмотрим текстовые противоречия с точки зрения нарушения одного из двух указанных типов соответствия между языками моделей на примерах известных парадоксов.
8.5. “Ахиллес и черепаха”
Понятийный аппарат человеческого разума способен создавать автономные модели. Эти мыслимые модели могут не иметь образов в реальном мире. Противоречие в таком случае снимается исследованием изоморфизма между мыслимой моделью и моделью определенного объекта. Рассмотрим пример.
Апория “Ахиллес и черепаха” принадлежит Зенону из Элен (483–375 гг. до н.э.) и состоит в следующем.
«Легендарный бегун Ахиллес движется в два раза быстрее черепахи. В момент старта черепаха находилась на расстоянии “ а ” от Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит этот отрезок “ а ”, то черепаха уползет вперед на расстояние “ а ”/2. Когда Ахиллес пробежит отрезок “ а ”/2, то черепаха уползет вперед на “ а ”/4. Когда Ахиллес пробежит “ а ”/4, то черепаха продвинется вперед еще на “ а ”/8 и т.д. Этот процесс бесконечен, и Ахиллес никогда не догонит черепаху».
Апория построена на интуитивном убеждении, что никакие бесконечные процессы завершиться не могут. Именно это и приводит к противоречию. Надо объяснить каким образом рассматриваемый “мысленно” бесконечный процесс все же закончится.
Герман Вейль в начале XX в. дал следующее объяснение этой апории. В мыслимой модели существует бесконечная последовательность 1,2,3,..., n,... временных событий (Ахиллес проходит расстояние “ а ”/2 n) с неограниченно убывающим временным интервалом tn =1/2 n. Сумма таких интервалов существует и равна 2 единицам времени.
В реальном мире каждая физическая операция требует некоторого времени, которое больше некоторого фиксированного временного интервала. Поэтому всякая бесконечная последовательность физических операций “выполнима” лишь за бесконечный промежуток времени.
Таким образом, в апории «Ахиллес и черепаха» нет изоморфизма между мыслимой и реальной моделями.
