Абстрактное векторное пространство

Восемь свойств сложения и умножения, установленных в геометрической модели, позволяют построить арифметическую модель и называются аксиомами векторного пространства.

Рассмотрим примеры моделей, удовлетворяющих этим аксиомам.

Пример 1

Множество многочленов степени не выше

образует векторное пространство, в котором мономы – базисные элементы, а коэффициенты многочлена – координаты вектора в этом базисе.

Пример 2

Пусть , ,…, – « –местные наборы», имеет 1 на –м месте и нули на остальных местах, . Тогда объекты

образуют векторное пространство с базисными элементами . Обозначим это пространство .

Векторное пространство , позволяет определить размерность всякого векторного пространства при помощи следующей аксиомы.

9. Аксиома размерности. Существует изоморфизм .

Определение абстрактного векторного пространства

Пусть для элементов множества выполняется 8 аксиом векторного пространства и аксиома размерности. Тогда есть –мерное абстрактное векторное пространство, а является его арифметической моделью.

Элементы множества могут быть произвольной природы. Например:

выборки измерений ;

цены наименований ;

наборы продуктов, расстояния между заводом изготовителем и сырьевыми складами и т.д.

Следствие

Все –мерные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны.

Множество многочленов степени не выше в примере 1 образуют –мерное пространство. Изоморфизм, устанавливающий размерность, задается в этом случае так

, .

Здесь – мономы, а – базисные орты в .

Если векторное пространство содержит для всякого подмножество, , которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным , то назовем бесконечномерным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше образуют –мерные подпространства в этом пространстве.

Аксиомы скалярного произведения векторов

Модель –мерного пространства не содержит понятия длины вектора при . Для определения длины вектора в при воспользуемся связью между длиной вектора и скалярным произведением. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.

Напомним, что в геометрической модели трехмерного скалярного произведения задается представлением

. (4)

В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:

, ;

, и ; (5)

; .

Следствие

Из формулы (4) находим представление длины вектора через скалярное произведение

, . (6)

Если в качестве базиса выбрать векторы , то, используя свойства 1–3, можно найти координатное представление скалярного произведения

,

(7)

Мы воспользовались тем, что , .

Следствие

Используя (6) и (7), заключаем, что

. (8)

Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (4) получили формулу длины вектора (8), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что: 1) скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (5) и 2) существование скалярного произведения в координатной модели установим формулой, аналогичной (7):

(9)

где , в .

Теперь согласно нашей схеме длина вектора определена формулой (6). Из (6) с учетом (9) получаем формулу длины вектора в –мерном арифметическом пространстве аналогичную (8) в виде

. (10)

Вывод 4

В трехмерном векторном пространстве длина вектора (8) находится благодаря теореме Пифагора. В абстрактном векторном пространстве размерности больше трех аксиомами (5) задается скалярное произведение, а длина выражается через скалярное произведение по формуле (6). В арифметической модели скалярное произведение существует в виде (9), а длина вектора определяется согласно формуле (10).

Определение

Абстрактное –мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее трем аксиомам ( 5 ), называем –мерным векторным евклидовым пространством. Его координатная модель со скалярным произведением ( 9 ) называется декартовой моделью. (Рене Декарт ( 1596–1650 ) впервые ввел координатную модель трехмерного евклидова пространства).