Восемь свойств сложения и умножения, установленных в геометрической модели, позволяют построить арифметическую модель и называются аксиомами векторного пространства.
Рассмотрим примеры моделей, удовлетворяющих этим аксиомам.
Пример 1
Множество многочленов степени не выше 
образует векторное пространство, в котором мономы 
– базисные элементы, а коэффициенты многочлена 
– координаты вектора 
в этом базисе.
Пример 2
Пусть 
, 
,…, 
– «
–местные наборы», 
имеет 1 на 
–м месте и нули на остальных местах, 
. Тогда объекты
образуют векторное пространство с базисными элементами 
. Обозначим это пространство 
.
Векторное пространство 
, позволяет определить размерность всякого векторного пространства 
при помощи следующей аксиомы.
9. Аксиома размерности. Существует изоморфизм 
.
Определение абстрактного векторного пространства
Пусть для элементов 
множества выполняется 8 аксиом векторного пространства и аксиома размерности. Тогда есть –мерное абстрактное векторное пространство, а 
является его арифметической моделью.
Элементы множества могут быть произвольной природы. Например:
выборки измерений 
;
цены 
наименований 
;
наборы продуктов, расстояния между заводом изготовителем и сырьевыми складами и т.д.
Следствие
Все –мерные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны.
Множество многочленов степени не выше в примере 1 образуют 
–мерное пространство. Изоморфизм, устанавливающий размерность, задается в этом случае так
, 
.
Здесь 
– мономы, а 
– базисные орты в .
Если векторное пространство содержит для всякого 
подмножество, 
, которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным , то назовем бесконечномерным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше образуют –мерные подпространства в этом пространстве.
Аксиомы скалярного произведения векторов
Модель –мерного пространства не содержит понятия длины вектора при 
. Для определения длины вектора в при воспользуемся связью между длиной вектора и скалярным произведением. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.
Напомним, что в геометрической модели трехмерного скалярного произведения задается представлением
. (4)
В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:
, 
;
, и 
; (5)
; 
.
Следствие
Из формулы (4) находим представление длины вектора через скалярное произведение
, 
. (6)
Если в качестве базиса выбрать векторы 
, то, используя свойства 1–3, можно найти координатное представление скалярного произведения
, 
(7)
Мы воспользовались тем, что 
, 
.
Следствие
Используя (6) и (7), заключаем, что
. (8)
Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (4) получили формулу длины вектора (8), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что: 1) скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (5) и 2) существование скалярного произведения в координатной модели 
установим формулой, аналогичной (7):
(9)
где 
, 
в .
Теперь согласно нашей схеме длина вектора определена формулой (6). Из (6) с учетом (9) получаем формулу длины вектора в –мерном арифметическом пространстве аналогичную (8) в виде
. (10)
Вывод 4
В трехмерном векторном пространстве длина вектора (8) находится благодаря теореме Пифагора. В абстрактном векторном пространстве размерности больше трех аксиомами (5) задается скалярное произведение, а длина выражается через скалярное произведение по формуле (6). В арифметической модели скалярное произведение существует в виде (9), а длина вектора определяется согласно формуле (10).
Определение
Абстрактное –мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее трем аксиомам ( 5 ), называем –мерным векторным евклидовым пространством. Его координатная модель со скалярным произведением ( 9 ) называется декартовой моделью. (Рене Декарт ( 1596–1650 ) впервые ввел координатную модель трехмерного евклидова пространства).
