Поверхности вращения. Пересечение поверхностей

ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Поверхность вращения общего вида образуется вращательным пе­ремещением образующей линии вокруг неподвижной оси.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг непод­вижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.

Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности.

Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, назы­вают меридиональными, а линии, по которым они пересекают по­верхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана.

Линия пересечения плоскости главного меридиана с поверхно­стью вращения называется главным меридианом.

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

При пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская фигура сечения. Построение проекций линии сечения необ­ходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точ­ки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, уда­ленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.

Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогатель­ных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точ­ки фигуры сечения соединяют плавной линией.

Развертки поверхностей вращения

Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала мо­делей различных сооружений, форм для металлических отливок, со­судов, трубопроводов, резервуаров и т.п.

Приближенные развертки

Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разры­вов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигу­ру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой.

Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку.

При построении приближенной развертки поверхность аппрокси­мируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. По­этому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точ­ности.

Условные развертки

Неразвертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, т.е. теоретически они не имеют своей развертки. Поэтому говорят лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертывающихся поверхностей.

На практике для получения развертки неразвертываемой поверх­ности, выполненной из листового материала, приходится кроме изги­бания производить растяжение и сжатие определенных участков лис­та. Построение условной развертки неразвертывающейся поверхно­сти состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимиру­ются отсеками развертывающихся поверхностей — гранными, цилинд­рическими или коническими.

11.4.3 Задание: построить проекции и натуральный вид фигуры сечения поверхности цилиндра плоскостью Р (рис. 11.3). Построить развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра.

Решение: на рисунке 11.3 изображены прямой круговой цилиндр, основание которого принадлежит горизонтальной плоскости проек­ций П₁ и секущая плоскость Р общего положения.

Поскольку секущая плоскость наклонена к оси цилиндра, то боко­вая поверхность цилиндра пересекается по эллипсу. Фигура сечения в этом случае зависит от того, пересекает ли плоскость Р основания ци­линдра.

В рассматриваемом случае секущая плоскость Р не пересекает ос­нований цилиндра. Это видно из того, что горизонтальная проекция нижнего основания не пересекается с горизонтальным следом плоско­сти Р, а горизонтальная проекция горизонтали h₁, по которой плос­кость Р пересекается с плоскостью верхнего основания, не пересекает его горизонтальную проекцию.

Для нахождения эллипса сечения плоскости Р с боковой поверх­ностью цилиндра находят сначала его низшую А (А₁ А₂) и высшую В (В₁ В₂) точки. Эти точки являются концами большой оси эллипса се­чения и лежат на линии наибольшего наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, прямая АВ перпендику­лярна к горизонтальному следу плоскости Р и пересекает ось цилинд­ра.

Для нахождения точек А и В проводят плоскость , перпендику­лярную к горизонтальному следу p₁ и проходящую через ось цилин­дра. Эта плоскость перпендикулярна к плоскости П₁. Затем находят прямую пересечения плоскостей Р и . Боковая поверхность цилиндра является горизонтально проеци­рующей и поэтому проецируется на горизонтальную плоскость про­екций в окружность.

Так как отрезок АВ является частью линии пересечения плоско­стей Р и , а точки А и В лежат на боковой поверхности цилиндра, то горизонтальные проекции точек А и В должны лежать на одной ок­ружности и на горизонтальной проекции прямой пересечения плоско­стей Р и . По горизонтальным проекциям точек А и В находят их фронтальные проекции, исходя из условия, что точки А и В лежат на найденной прямой пересечения плоскостей Р и .

Для определения остальных точек эллипса сечения на цилиндри­ческой поверхности выбирают ряд образующих. За первую образую­щую выбирают ту, на которой лежит точка А. Остальные образующие получают делением окружности (горизонтальной плоскости цилинд­рической поверхности) на 12 равных частей (можно делить на другое количество частей).

Затем находят точки пересечения образующих с плоскостью Р. В рассматриваемом примере все образующие перпендикулярны к гори­зонтальной плоскости проекций. Следовательно, горизонтальные про­екции точек пересечения образующих с плоскостью Р совпадают с горизонтальными проекциями самих образующих. Далее наносят го­ризонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскос­тью Р (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) и находят фронтальные проекции этих точек, проводя через них горизонтали в плоскости.

Кривая линия, ограничивающая фронтальную проекцию фигуры сечения, включает видимые и невидимые участки. Точки, являющиеся границей видимости кривой, лежат на очерковых образующих. Отме­чают горизонтальные проекции этих точек (11₂ и 12₂ ) и находят фрон­тальные проекции (11₂ и 12₂), проводя через эти точки в плоскости Р горизонтали.

Полученные точки соединяют плавной кривой линией. Кривая от точки 12 через точки 10, А, 1, 2, 3, 4 до точки 11 на фронтальной

плоскости проекций является видимой, а остальная часть - невиди­мой.

Видимую часть кривой обводят сплошной линией, а невидимую -штриховой. Малой осью эллипса сечения является отрезок [38], про­ецирующийся в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций. Натуральная величина малой оси эллипса в рассматривае­мом примере равна диаметру цилиндра.

Натуральную величину эллипса сечения строят путём совмещения плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций.

Развёртка боковой поверхности прямого кругового цилиндра, не усечённого плоскостью, представляет собой прямоугольник с основа­нием, равным длине окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра.

При построении развёртки боковой поверхности цилиндра, пере­сечённого плоскостью, на развёртке необходимо наносить точки, принадлежащие линии пересечения, и затем эти точки соединять плавной кривой линией (рис. 11.3).

Для этого на развёртке боковой поверхности цилиндра прово­дят 12 образующих, отстоящих друг от друга на равном расстоянии. За первую образующую рекомендуется выбирать ту, на которой ле­жит точка А. Затем наносят на все образующие последовательно точ­ки А, 1, 2, 3, 4, 11, 5, В, 6, 7, 8, 9, 12, 10. Расстояние от этих точек до нижнего (или верхнего) основания проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают развёртку боковой поверх­ности усечённой части цилиндра.

11.4.4 Задание: построить проекции и натуральную величину фи­гуры сечения поверхности конуса плоскостью Р (рис. 11.4).

Решение: поверхность прямого кругового конуса относительна к поверхностям вращения и является носителем кривых второго поряд­ка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы. Все эти кривые яв­ляются плоскими и, следовательно, могут быть получены в результате сечения конической поверхности плоскостью.

На рис. 11.4 приведены фронтальные проекции поверхности пря­мого кругового конуса, следы фронтально проецирующих секущих плоскостей и указан вид получаемой в сечении кривой. Можно уста­новить признаки, обеспечивающие получение в сечении той или иной кривой второго порядка. Так, если обозначить угол наклона образую­щей конической поверхности к его оси через ° а угол между секущей плоскостью и той же осью через °, то можно утверждать, что
при ° > ° (рис. 11.4, а) в сечении получается эллипс (в частном случае, если ° =90° - окружность), при ° = ° (рис. 11.4,6)- парабола, и при ° < ° (рис. 11.4, в) - гипербола.

На рис. 11.5 изображен прямой круговой конус и фронтально проецирующая секущая плоскость Р. Угол между секущей плоскостью и осью конической поверхности больше угла наклона образующей конической поверхности к его оси, поэтому в сечении получается эллипс, большая ось которого АВ будет проецироваться на плоскость-П₂ без искажения в А₂В₂, а малая ось эллипса 12 спроецируется на плоскость П₂ в точку , расположенную в середине отрезка [А₂В₂]. Величина малой оси 12 определяется из условия принадлежности ее плоскости Р. Для построения горизонтальной проекции малой оси 1₁2₁ применяют способ секущих плоскостей. Поверхность конуса рассекают горизонтальной вспомогательной секущей плоско­стью и строят на горизонтальной проекции конуса проекцию фигу­ры сечения — круг. Определяют горизонтальные проекции малой оси эллипса 1₁2₁, которые лежат на линии пересечения (окружности) плоскости А и поверхности конуса, и проводят ряд вспомогательных секущих плоскостей для нахождения промежуточных точек 3, 4, 5, 6, принадлежащих фигуре сечения (эллипсу).

Натуральную величину эллипса находят совмещением плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекции. Эллипс а₀ 5₀ 1₀ 3₀ В₀ 4₀ 2₀ 6₀ есть натуральная величина эллипса.

11.4.5 Задание: построить проекции и натуральную величину фи­гуры сечения поверхности конуса плоскостью Р (рис. 11.6). Постро­ить развёртку усечённой части боковой поверхности конуса.

Решение: на рис. 11.6 изображены прямой круговой конус и се­кущая плоскость Р общего положения. Ось конуса расположена пер­пендикулярно к плоскости П₁ основание конуса лежит на плоско­сти П₁.

Решение задачи значительно упростится, если секущая плоско­сть Р будет проецирующего положения. Для этого преобразуют эпюр способом перемены плоскостей проекций так, чтобы секущая плос­кость Р стала фронтально проецирующей. Замену фронтальной плос­кости проекций производят для того, чтобы ось конуса осталась пер­пендикулярной к плоскости П₁.

 

 

Преобразованный эпюр показывает, что секущая плоскость пере­секает только боковую поверхность конуса, а основание не пересека­ет.

Для нахождения проекций сечения необходимо найти проекции эллипса, получаемого от сечения конической поверхности плоско­стью.

На фронтальную плоскость проекции П₄ эллипс проецируется в отрезок [А₄В₄]. Точки А и В являются низшей и высшей точками эл­липса сечения плоскости с конической поверхностью, т. е. концами большой оси эллипса. А₄В₄ — натуральная величина большой оси эл­липса. Малая ось эллипса перпендикулярна к большой оси и делит её пополам. Большая ось эллипса А₁B₁ параллельна плоскости проекций П₄, а малая ось перпендикулярна П₄ и проецируется на неё в точку (1₄ 2₄). Затем задают на эллипсе сечения ещё ряд точек (3, 4, 5, 6, 7, 8). По их фронтальным проекциям на плоскость П₄ находят горизон­тальные проекции (проводя через точки на конической поверхности образующие). По горизонтальным проекциям находят фронтальные проекции на плоскость проекций П₂ (проводя фронтали через проек­ции точек 1₁ З₁ 5₁ 7₁).

Для нахождения границы видимости кривой на фронтальной про­екции находят проекции очерковых образующих, на которых лежат искомые точки, на фронтальную плоскость проекций П₄. На пересе­чении этих образующих с плоскостью Р и будут искомые точки (про­екции 9₄ и 10₄). По проекциям 9₄ и 10₄ находят горизонтальные проек­ции 9₁ и 10₁ а затем фронтальные проекции 9₂ и 10₂. Видимая часть кривой на фронтальной проекции - от точки 10 через точки А, 5, 1, 3, 7 до точки 9. Остальная часть невидимая.

Развёртка боковой поверхности прямого кругового конуса пред­ставляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей ко­нуса (рис. 11.7). Центральный угол сектора подсчитывается по фор­муле

где - радиус окружности основания конуса;

L - длина образующей конуса.

Чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины Дуги сектора или угла (р, обычно вписывают в основание конуса пра­вильный многоугольник (в данном случае 12-угольник) и затем, опи-ав из произвольной точки S дугу радиусом L, откладывают последо­вательно из любой её точки количество дуг, равное сторонам много­ угольника. Таким образом, развёртку боковой поверхности прямого кругового конуса заменяют, с достаточной для практики точностью развёрткой правильной пирамиды, вписанной в данный конус.

Для нанесения на развёртку боковой поверхности конуса линии сечения (рис. 11.7) переносят на развёртку точки пересечения с секу­щей плоскостью 12 образующих конуса, которые заменены рёбрами 12-угольной правильной пирамиды. Соединив полученные точки плавной кривой, получают развёртку усечённой части боковой поверхности конуса.

11. 4.7 Задание: построить проекции фигуры сечения сферы плос­костью Р (рис. 11.10).

Решение: плоскость Р является фронтально проецирующей. На фронтальную плоскость проекций окружность (фигура сечения) про­ецируется в виде отрезка прямой, на горизонтальную - в виде эллипса. Эллипс строят с помощью точек. Точки 1 и 2 расположены на глав­ном меридиане сферы, а точки 3 и 4 - на экваторе сферы. Для нахож­дения верхней и нижней (экстремальных) точек 5 и 6 определяют их фронтальные проекции 5₂ и 6₂, которые находятся в середине фрон­тальной проекции отрезка [1₂2₂]. Через фронтальные проекции точек проводят фронтальную проекцию окружности n₂ (на плоскость П₂ она проецируется в прямую линию). Рассечение от оси сферы до очерко­вой образующей определяет радиус окружности R'. Этим радиусом строят горизонтальную проекцию окружности п₁ и на ней находят проекции точек 5 и 6 - 5₁ и 6₁. Промежуточные точки 7 и 8 определя­ют аналогичным способом.

11.4.8 Задание: построить проекции и истинную величину фигу­ры сечения сферы плоскостью общего положения Р (P₁ и Р₂). Постро­ить развёртку поверхности сферы (рис. 11.11).

Решение: для решения задачи плоскость общего положения Р(Р₁ Р₂) преобразуют способом замены плоскостей проекций в проецирующую. Заменяют фронтальную плоскость проекции П₂ на П₄- Проводят ось х₁ перпендикулярно к горизонтальному следу pi плоскости Р. Строят плоскость Р в новой системе плоскостей П₁/П₄. Для этого берут на фронтальном следе Р₂ плоскости Р произвольную точку Е (Е₂). Находят горизонтальную проекцию e₁ точки Е, затем строят проекцию точки Е и в системе П₁/ П₄. Через проекцию Е₄ и точку схода следов на оси jq проводят фронтальный след Р₄ плоскости проекцию сферы переносят в систему П₁/II₄. Для этого про­водят через горизонтальную проекцию 0₁, центра 0 сферы линию про­екционных связей перпендикулярно к оси x₁ и отмечают на ней (на линии проекционных связей) координату z точки 0. Полученную про­екцию обозначают 0₄. Затем строят проекцию сферы заданного радиу­са в системе П₁П₄. После преобразования плоскости Р в проецирую­щее положение задача сводится к решению предыдущей задачи (см. п. 11.4.7), т. е. сначала строят горизонтальную проекцию фигуры се­чения, а затем, используя признак принадлежности точки плоскости, строят фронтальную проекцию фигуры сечения сферы плоскостью общего положения.

Для определения натуральной величины фигуры сечения сферы необходимо выполнить вторую замену плоскостей проекций (рис. 11.11). С этой целью преобразовывают плоскость сечения Р в плоскость уровня. Для этого проводят ось Х₂ параллельно фронталь­ному следу Р₄. Проецируют центр окружности 0 в систему П₄ /П₅, от­ложив координату у' от оси х₂ в направлении проецирования, и отме­чают проекцию 0₅. Натуральная величина окружности строится ра­диусом R, равным половине отрезка [1₄2₄].

Поверхность сферы не может быть развёрнута точно. Для неё строят приближённую развёртку (рис. 11.12).

Поверхность сферы разбивается на равное число частей (рис. 11.12, а), например, на 16. Разбивку производят плоскостями, проходящими через один из диаметров шара MN.

Каждую часть поверхности сферы, находящуюся между двумя смежными плоскостями, заменяют частью цилиндрической поверхно­сти с осью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к диаметру MN. Диаметр цилиндрической поверхности принимают равным диаметру сферы.

 

 

Для наглядности ниже рассмотрено построение только одной из частей поверхности сферы, расположенной между плоскостями Р и .

Выделенную часть поверхности сферы заменяют цилиндрической осью (, которая перпендикулярна к диаметру MN и плоскости дуги 15. Дугу 15 делят на равные части (в каждом случае - на четыре). Для построения развёртки откладывают на вертикальной прямой отрезки, равные хордам данных дуг. Величины этих хорд с достаточной степе­нью точности можно считать равными величинам дуг. По горизон­тальной прямой откладывают величины соответствующих образую­щих цилиндрической поверхности. Полученные точки соединяют кривой линией (рис. 11.12,6).