Многогранники. Сечение многогранников плоскостью. Развертки многогранников

Сечение многогранников плоскостью

Многогранник есть геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями), пересекающимися по прямым линиям (рёбрам). Фигура сечения многогранника есть плоский многоуголь­ник, сторонами которого являются прямые пересечения заданной плоскости с плоскостями граней, а вершинами -— точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью.

Построение фигуры сечения многогранника плоскостью может выполняться двумя способами:

- путем определения линии пересечения заданной плоскости с ка­ждой из плоскостей (граней), ограничивающих геометрическое тело многогранника (эти линии — стороны фигуры сечения);

- путем нахождения точек пересечения всех ребер с заданной плоскостью (эти точки — вершины фигуры сечения).

Первый способ называется способом граней, второй — способом ребер. Выбор способа построения фигуры сечения зависит от положе­ния секущей плоскости, рёбер и граней многогранника относительно плоскостей проекций.

Способ граней

Суть способа сводится к последовательному определению линий пересечения двух плоскостей, одна из которых является заданной, а другая - какой-либо гранью многогранника (см. разд. 6). Для по­строения же самой фигуры сечения определяют точки пресечения найденных прямых, которые являются вершинами многоугольника сечения.

Способ ребер

Этот способ заключается в определении точек встречи прямых (ребер) с заданной плоскостью (см. разд. 7). Установив последовательно для всех ребер точки встречи их с секущей плоскостью, соеди­няют эти точки отрезками прямых и получают многоугольник сече­ния.

Развертки многогранников

В инженерном деле многогранники чаще всего реализуются как оболочка заданных форм и размеров. Для их изготовления необходи­мо уметь выполнить развертку (выкройку) такой оболочки.

Развёртка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную последовательным совмещением всех граней многогран­ника с плоскостью чертежа таким образом, чтобы грани примыкали друг к другу по линиям сгиба (рёбрам).

Для построения развёртки многогранника необходимо иметь на­туральные величины всех его граней, поэтому задача построения раз­вертки многогранника решается в два этапа:

1) определяют натуральную величину каждой грани (см. разд. 9);

2) потом путем вращения вокруг соответствующей линии (ребра) (см. разд. 9) совмещают грани с плоскостью чертежа.

10.3. Вопросы для самопроверки

1. Чем задаётся призматическая поверхность?

2. Какие признаки позволяют установить, что на данном чертеже изображена призма?

3. Чем задаётся поверхность пирамиды?

4. Какая фигура образуется в результате сечения призмы плоско­стью, параллельной её боковым рёбрам?

5. Какая фигура образуется в результате сечения пирамиды плос­костью, проходящей через её вершину?

6. В чём заключается решение задач по определению сечения по­верхности плоскостью с помощью способа граней и способа рёбер?

7. Что называется развёрткой поверхности?

8. Способы построения развёрток многогранников, содержание каждого из них.

9. В каких случаях для построения развёртки используются спосо­бы: нормального сечения, раскатки, треугольников?

Примеры решения задач

10.4.1 Задание: определить сечение трёхгранной призмы (рис. 10.1) плоскостью P(P₁P₂). Построить полную развёртку поверх­ности призмы и нанести на ней линию сечения.

Решение: секущая плоскость Р является фронтально проецирую­щей и пересекает все рёбра прямой призмы АА', ВВ', СС'. Для реше­ния задачи используют свойство проецирующей плоскости, следуя которому фронтальная проекция 1₂2₂3₂ фигуры сечения 1, 2, 3 совпа­дает с фронтальным следом Р₂ плоскости Р (рис. 10.2).

Рёбра призмы АА', ВВ', СС' являются горизонтально проеци­рующими прямыми и на плоскость П₁ проецируются в точки А₁ В₁ С₁ поэтому горизонтальная проекция Ii2i3i фигуры сечения 123 сов­падает с горизонтальной проекцией призмы, т.е. .

В рассматриваемом примере основание призмы проецируется на горизонтальную плоскость проекций П₁ в натуральную величину, рёбра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций П₂. Из этого следует, что фронтальные проекции рёбер А₂А'₂, В₂В'₂, С₂С'₂ являются натуральными величинами.

Для построения развёртки призмы совмещают ее боковые грани с фронтальной плоскостью проекций П₂. На совмещенных положениях граней А₀А'₀, В₂В'₂, С₂С'₂ развертки призмы отмечают точки 1₀, 2₀, 3₀ и последовательно соединяют их отрезками прямых линий. Верхнее А'В'С' и нижнее ABC основания и натуральную величину фигуры се­чения 1₀2₀3₀ пристраивают к развёртке, как треугольники по трём из­вестным сторонам.