Приклад 1. Плоска звукова хвиля має період Т = 3 мс, амплітуду А = 0,2 мм і довжину хвилі l = 1,2 м. Для точок середовища, які знаходяться на відстані х = 2 м, визначити: а) зміщення ux,t в момент часу t = 7 мс; б) швидкість і прискорення для того ж моменту часу. Початкову фазу коливань прийняти рівною нулю.
Дано:
Т = 3 мс
А = 0,2 мм
l = 1,2 м
х = 2 м
t = 7 мс
_______________
ux,t –? 
x,t –? 
x,t –?
Розв’язування. Рівняння плоскої хвилі має вигляд:
ux,t = A cos (wt - kx), (1)
де w = 2p/Т – циклічна частота коливань;
k = 2p/l – хвильове число.
Знайдемо швидкість і прискорення поширення хвиль у пружньому середовищі як відповідні похідні за часом від (1):
; (2)
. (3)
а) зміщення точок середовища на відстані х = 2 м і в момент часу t = 7 мс, дорівнює
б) швидкість цих точок
=
= – 0,2 × 10-3.2093 sin 
=– 0,031 м/с.
в) прискорення руху точок середовища
=
=– 0,2.10-3.20932 соs 
= –873,3 м/с2.
Відповідь: ux,t = 0,12 мм; 
=– 0,031 м/с; = – 873,3 м/с2.
Приклад 2. Рівняння плоскої біжучої хвилі має вигляд
ux,t = 6,0 ×10-2 cos (1800t – 5,3x) мм. (1)
Знайти: а) відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі; б) амплітуду швидкості частинок середовища і її відношення до швидкості поширення хвиль; в) амплітуду відносної деформації середовища і її зв’язок з амплітудою швидкості частинок.
Розв’язування. Рівняння плоскої біжучої хвилі в загальному вигляді запишемо так:
ux,t = A cos 
. (2)
а) порівнюючи співвідношення (1) і (2), знайдемо відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі. Крім того амплітуда, період коливань і довжина хвилі дорівнюють:
А = 6,0 × 10-5 м; 2 p/Т = 1800 с-1,
звідки
Т = 2p/1800 = 3,49 × 10-3 с.
Оскільки 2p/l = 5,3 м-1, то l = 2p/5,3 = 1,18 м.
Тому
= 5,08 × 10-5.
б) швидкість частинок середовища знайдемо, взявши похідну за часом від рівняння (1)
= – 6,0 × 10-5 × 1800 sin (1800×t – 5,3×x) м/с,
де (
)max = 6,0 × 10-5 × 1800 = 0,11 м/с – амплітуда швидкості частинок.
Швидкість поширення хвиль у пружному середовищі
= 339 м/с.
Відношення амплітуди швидкості частинок середовища до швидкості поширення хвиль
в) для знаходження зв’язку амплітуди відносної деформації частинок і амплітуди швидкості частинок знайдемо відповідні похідні від рівності (2):
;(3)
; (4)
Поділимо рівняння (4) на (3)
=υ
або
де 
– амплітуда швидкості;
– амплітуда відносної деформації;
υ – швидкість поширення хвиль.
Відповідь: А/l = 5,08 × 10-5; = 0,11 м/с;
= 3,19 × 10-4; 
.
Приклад 3. Труба має довжину 85 см. Вважаючи швидкість звуку 340 м/с, визначити число власних коливань стовпа повітря в трубі, частоти яких менше n0 = 1250 Гц. Розглянути два випадки: а) труба закрита з одного кінця; б) труба відкрита з обох кінців.
Дано:
l = 0,85 м
υ = 340 м/с
n0 = 1250 Гц
____________
n1 –? n2 –?...
Розв’язування. В трубі як в першому, так і в другому випадку створюється стояча хвиля. Слід мати на увазі, що біля відкритого кінця труби завжди буде пучність, а біля закритого кінця труби завжди буде вузол, як це показано на рис.7.
Рисунок 7
а) у випадку закритої з одного кінця труби на її довжині вкладається непарне число l/4, тобто
l = (2k +1) l/4,
де k = 0, 1, 2,...;
l – довжина хвилі, яка пов’язана з частотою коливань l = υ/n.
Тому
l = (2k + 1) 
, звідки n = 
.
Знайдемо ці частоти
k = 0; n1 = 
= 100 Гц.
k = 1; n2 = 
= 300 Гц.
k = 2; n3 = 
= 500 Гц.
k = 3; n4 = 
= 700 Гц.
k = 4; n5 = 
= 900 Гц.
k = 5; n6 = 
= 1100 Гц.
Наступна частота буде більша за n6;
б) у випадку відкритої з обох кінців труби, для збереження умови пучностей біля відкритого кінця, треба, щоб в її довжині вкладалось ціле число півхвиль, тобто
l = k 
, де k = 1, 2, 3,....
З урахуванням того, що l = 
, маємо
l = k 
, звідки n = 
.
Знайдемо ці частоти
k = 1; n1 = 
= 200 Гц. k = 2; n2 = 
= 400 Гц.
k = 3; n3 = 
= 600 Гц. k = 4; n4 = 
= 800 Гц.
k = 5; n5 = 
= 1000 Гц. k = 6; n6 = 
= 1200 Гц.
Приклад 4. На шосе рухаються назустріч дві автомашини з швидкостями u1 = 30 м/c і u2 = 20 м/с. Перша з них подає звуковий сигнал частотою n1 = 600 Гц. Визначити частоту, яка буде сприйматись водієм другої автомашини в двох випадках: а) до зустрічі; б) після зустрічі. Швидкість звуку в повітрі c = 340 м/с.
Дано:
u1 = 30 м/с
u2 = 20 м/с
n0 = 600 Гц
c = 340 м/с
____________
–? 
–?
Розв’язування. Зміна частоти коливань при русі джерела звуку і приймача в цих випадках визначається за допомогою формули ефекту Допплера:
а) до зустрічі
× 600 = 696 Гц;
б) після зустрічі
× 600 = 519 Гц.
Відповідь: 
= 696 Гц; 
= 519 Гц.
Приклад 5. Визначити потужність точкового ізотропного джерела звуку, якщо на відстані r = 25 м від нього інтенсивність звуку R дорівнює 20 мВт/м2. Яка середня густина енергії 
на цій відстані?
Дано:
r = 25 м
R = 20 мВт/м2
_____________
N –? –?
Розв’язування. Відомо, що інтенсивність або густина потоку енергії визначається за формулою
R = 
,
де W – повна енергія, яка випромінюється точковим джерелом звуку у всіх напрямках;
S – площа поверхні, через яку здійснюється перенесення енергії;
Dt – час випромінювання.
Тоді потужність точкового джерела випромінювання буде дорівнювати
N = 
або N = R S.
Підставимо числові значення
N = 20 × 10-3 × 4 × 3,14 × 625 = 157 Вт.
Середня об’ємна густина енергії на цій відстані визначається з формули
R = 
звідки 
= 
,
де 
– швидкість звуку в повітрі, яка для норальних умов дорівнює 340 м/с.
Тому
5,88 × 10-5 Дж/м3.
Відповідь: 157 Вт; 5,85×10-5 Дж/м3.
