Приклад 1. Відстань d між двома когерентними джерелами світла (
= 0,5 мкм) дорівнює 0,1 мм. Відстань b між сусідніми інтерференційними максимумами в середній частині екрана дорівнює 1 см. Визначити відстань L від джерела до екрана.
Дано:
d = 0,1 мм
= 0,5 мм
b = 1 cм
L -?
Рисунок 8
Розв’язування. З подібності трикутників S1S2C і О1ОР знаходимо наближене відношення сторін (рис.8).
звідки 
В точці P спостерігається k – й максимум інтерференції двох променів S2k і S1k, оптична різниця ходу між якими
.
З умови максимуму інтерференції двох променів маємо:
Тому
де уk – відстань від 0 -го максимуму до k -го максимуму на екрані.
Для (k+1)- го максимуму
Ширина інтерференційної смуги
.
Звідки відстань від джерел світла до екрана
Підставимо числові значення
.
Відповідь: L = 2 м.
Приклад 2. На мильну плівку (n = 1,33), яка знаходиться у повітрі, падає перпендикулярно промінь білого світла. При якій найменшій товщині d плівки відбите світло з довжиною хвилі = 0,55 мкм виявиться максимально підсиленим в результаті інтерференції?
Дано:
n = 1,33
l = 0,55 мкм
____________
dmin –?
|
Розв’язування. З рис.9 видно, що інтерферують промені 1 і 2, які відбиті від верхньої і нижньої поверхонь плівки. Оптична різниця ходу цих променів дорівнює
,
де 
– враховано повернення фази хвилі на протилежну при відбиванні від межі з оптично більш густим середовищем;
r2 = 2dn – оптичний хід променя в тонкій плівці.
Тому
.
Для максимуму інтерференції виконується співвідношення:
.
Прирівняємо оптичні різниці ходу
Звідки
d = (2k+1) 
.
Якщо k = 0, то d = dmin
Підставимо числові значення
м.
Відповідь: dmin = 0,1 мкм
Приклад 3. Діаметри di i dk двох світлих кілець Ньютона відповідно дорівнюють 4,0 і 4,8 мм. Порядкові номери кілець не визначались, але відомо, що між ними розміщені ще три світлих кільця. Кільця спостерігаються у відбитому світлі (l = 500 нм). Визначити радіус кривизни плоско-опуклої лінзи, взятої для досліду.
|
di = 4,0 мм
dk = 4,8мм
l = 500нм
k = i+3
___________
R –?
|
Розв’язування.Співвідношення між радіусом сферичної поверхні плоско-опуклої лінзи R радіусом k- го кільця Ньютона і товщиною повітряного проміжку має такий вигляд:
R2 = (R-dk)2 + rk2 або R2 = R2 - 2Rdk + dk2 + rk2.
Нехтуючи за малістю dk2, знаходимо:
rk2 = 2R dk. (1)
Аналогічно для і-го кільця:
ri2 = 2R di. (2)
Різниця ходу променів, які дають інтерференційну картину у випадку, коли промені падають перпендикулярно до системи, лінза – пластинка для максимумів інтерференції, виражається формулою:
2dk + 
= kl.
Звідки
dk = (2k - 1) 
. (3)
Для і-го світлого кільця
dі = (2і – 1) . (4)
Підставимо (3) і (4) відповідно в (1) і (2)
rk2 = (2k – 1) 
.
ri2 = (2i – 1) . (5)
З урахуванням того, що k = і + 3, маємо
rk2 = (2і +5) . (6)
Від (6) віднімемо (5)
rk2 - ri2 = 3 Rl.
Звідки
.
Підставимо числові значення
R = 
м.
Відповідь: R = 1,17 м.
Приклад 4. Дві плоскопаралельні скляні пластинки утворюють клин з кутом a = 
. Простір між пластинками заповнено гліцерином (n = 1,47). На клин перпендикулярно до його поверхні падає промінь монохроматичного світла з довжиною хвилі l = 500 нм. В відбитому світлі спостерігається інтерференційна картина. Яке число N темних інтерференційних смуг вкладається на 1 см довжини клина?
Дано:
a = 
n = 1,47
l = 500 нм
b = 1 см
___________
N –?
|
Розв’язування. Оптичні різниці ходу променів в точках розміщення k- гоі (k + N) -го мінімумів (рис.11) дорівнюють:
D1 = 2dkn - 
; D2 = 2dk+N n - .
Згідно з умовою мінімумів інтерференції запишемо
D1 = (2k +1) ; D2 = [2(k +N) +1] .
Або
(2k +1) = 2dk n - звідки dk = 
;
= 2dk+N n - звідки dk+N = 
;
З рисунка видно, що
tg a = 
,
де Dd = dk+N – dk = 
.
Тоді
tg a = 
.
Звідки
.
Для малих кутів tg a = a.
Тому
.
Підставимо числові значення
= 8,55 1/см.
Відповідь: N = 8,55 1/см.
Приклад 5. Визначити переміщення дзеркала в інтерферометрі Майкельсона, якщо інтерференційна картина зміcтилась на m = 100 смуг. Довжина хвилі світла 546 нм.
Дано:
|
l = 456 нм
___________
L –?
|
Розв’язування. Переміщення дзеркала на відстань відповідає зміні різниці ходу променів на одну смугу (рис.12).
Таким чином, можна записати:
.
Підставимо числові значення
м.
Відповідь: L = 27,3 × 10-6 м.
ДИФРАКЦІЯ СВІТЛА
Основні формули
1. Радіуси зон Френеля:
а) сферичний хвильовий фронт
;
б) плоский хвильовий фронт
,
де k – порядковий номер зони Френеля (k = 1, 2, 3,...);
l – довжина хвилі світла;
a – радіус хвильової поверхні;
b – відстань від вершини хвильової поверхні до екрана.
2. Умова максимумів дифракції на щілині
,
де b – ширина щілини;
j – кут дифракції;
k = 1, 2, 3,... – порядок максимуму або мінімуму дифракції.
3. Умова мінімумів дифракції на щілині
b sin j = 
k l.
4. Умова головних максимумів на дифракційній гратці
d sin j = k l,
де d – стала дифракційної гратки, яка дорівнює ширині однієї прозорої і однієї непрозорої смуг (d = b + a).
5. Кутова дисперсія гратки
,
де k – порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);
j – кут дифракції.
6. Роздільна здатність дифракційної гратки:
,
де dl – найменший інтервал довжин хвиль, якi за умовою Релея можуть бути розділені;
k – порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);
N – число всіх щілин в гратці.
7. Умова максимумів дифракції рентгенівських променів на просторовій гратці (формула Вульфа-Брегга)
2d sin j = ± k l,
де d – стала кристалічної структури;
j – кут між напрямком променя і поверхнею кристала;
k – порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);
l – довжина хвилі.
