Приклади розв’язування задач. (коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк

О. С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк

О. С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Вінниця

ВНТУ

УДК 530(078)

ББК 22.3я77

А18

Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України (протокол № 5 від 24.12.09 р.)

Рецензенти:

І. О. Сівак, доктор технічних наук, професор

О. В. Осадчук, доктор технічних наук, професор

В. Г. Дзісь, кандидат фізико-математичних наук, доцент

Авдєєв, С. Г.

А18Збірник задач з фізики. Ч. 2 (коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика): навчальний посібник / С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк, О. С. Камінський. – Вінниця: ВНТУ, 2010. – 122 с.

Збірник задач складається з розділів “Механіка, електрика і електромагнетизм”, які традиційно викладаються в одному триместрі. Кожен окремий розділ супроводжується короткими теоретичними викладками і прикладами розв’язування задач.

В першу чергу збірник задач призначений для організації та проведення практичних занять з курсу загальної фізики студентами вищих технічних навчальних закладів. Велика кількість і різноманітність задач, які ввійшли до збірника задач, дозволяє широко організовувати самостійну та індивідуальну роботу студентів.

УДК 53(078)

ББК 22.3я77

ЗМІСТ

Частина 2

Гармонічні коливання і хвилі. Основні формули...................................... 3

Приклади розв’язування задач.................................................................. 8

Механічні хвилі. Основні формули.......................................................... 23

Приклади розв’язування задач................................................................. 27

Електромагнітні коливання і хвилі. Основні формули............................ 33

Приклади розв’язування задач................................................................. 36

Задачі.......................................................................................................... 39

Інтерференція світла. Основні формули................................................... 53

Приклади розв’язування задач................................................................. 61

Дифракція світла. Основні формули......................................................... 63

Поляризація світла. Основні формули..................................................... 67

Приклади розв’язування задач................................................................. 69

Дисперсія світла. Основні формули.......................................................... 73

Приклади розв’язування задач................................................................. 75

Теплове випромінювання. Основні формули........................................... 77

Приклади розв’язування задач................................................................. 78

Фотоефект. Основні формули................................................................... 82

Приклади розв’язування задач................................................................. 83

Тиск світла. Основні формули.................................................................. 85

Приклади розв’язування задач................................................................. 85

Ефект Компотна. Основні формули.......................................................... 86

Приклади розв’язування задач................................................................. 87

Задачі.......................................................................................................... 88

Література................................................................................................ 116

Додаток А................................................................................................. 117

Довідкові таблиці..................................................................................... 119

Частина 2

ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Основні формули

1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонічних коливаннях визначаються рівняннями:

х = А cos (w t + j₀),

υ = - A w sin (wt + j₀),

a = - A w²cos (wt + j₀) = - w² x,

де А – амплітуда коливань;

w – циклічна частота;

j₀ – початкова фаза коливань.

2. Зв’язок циклічної частоти w з періодом коливань Т і частотою n:

w = = 2 p n.

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіпружна сила):

F = ma = - m w² x = - k x,

де k = mw² – коефіцієнт квазіпружної сили, який вимірюється силою, що викликає зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник

+ x = 0, де , звідки T = 2p ;

б) пружинний маятник

+ x = 0, де , звідки Т = 2p ;

в) фізичний маятник

+ x = 0, де , звідки T = 2p ,

де І – момент інерції маятника відносно осі коливань;

l – відстань від осі коливань до центра мас маятника;

– зведена довжина.

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань w називається власною циклічною частотою і позначається через w₀.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза j₀ визначаються рівняннями:

tq j₀ = ,

де А₁ і А₂ – амплітуди коливань, що складаються;

j₁ і j₂ – початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (w₁» w₂) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

x = cos ,

де – амплітуда биття.

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

T_б = , звідки T_б = .

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

cos(j₂ - j₁) = sin² (j₂- j₁),

де А₁ і А₂ – амплітуди коливань, що додаються;

j₂- j₁ – різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння згасаючих коливань:

або

де b = – коефіцієнт згасання;

r – коефіцієнт опору середовища;

– власна циклічна частота коливань.

10. Загальний розв’язок диференціального рівняння для згасаючих коливань має вигляд:

x = A₀e^-^b^t cos (wt + a),

де А₀е^-^b^t – амплітуда згасаючих коливань;

w – циклічна частота згасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди згасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом згасання

δ= ln ,

де δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

Т – період згасаючих коливань.

12. Циклічна частота згасаючих коливань

w = або w = .

13. Період згасаючих коливань:

T = або Т = .

14. Добротність коливальних систем

q = 2p або q = ,

де W_t – повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

DW_(t=T ₎ – втрати енергії коливальної системи за один період;

δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

w₀ – власна циклічна частота коливань;

Т – період згасаючих коливань (при малих згасаннях Т» Т₀).

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань

або

де F₀ – вимушувальна сила;

w – циклічна частота вимушених коливань.

16. Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушувальної сили має вигляд:

x = A cos (wt + a),

де А – амплітуда вимушених коливань;

a – зсув за фазою вимушених коливань і вимушувальної сили.

17. Амплітуда вимушених коливань

A = ,

де f₀ = ;

w₀ – власна частота коливань системи;

w – циклічна частота вимушувальної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

tga = - .

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

w_рез= ;

А_рез = .

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги х = 0. Циклічна частота коливань w = 4 c^-1. В момент часу t = 0 координати частинки х₀ = 25,0 см, а її швидкість υ = 100 см/с. Знайти координату х і швидкість υ цієї частинки через t = 2,40 с.

Дано:

w = 4 с^-1

х₀= 25,0 см

υ= 100,0 см/с

t = 2,40 с

___________

х –? υ –?

Розв’язування. Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

x = A cos (w t + j). (1)

Швидкість частинки в довільний момент часу дорівнює:

υ = - A w sin (w t + j). (2)

В початковий момент часу t = 0 величини х і υ відповідно дорівнюють х₀ і υ₀:

x₀ = A cos j i υ₀ = - Aw sin j. (3)

Розв’язавши систему рівнянь (3), одержимо значення амплітуди коливань і початкової фази:

= 1 звідки А = ;

cos j = звідки j = arc cos .

Числові значення амплітуди і початкової фази в одиницях умови задачі

A = = 35,5 cм,

j = arc cos .

Скориставшись значеннями амплітуди коливань і початкової фази, знаходимо координату х і швидкість υ в момент часу t:

x = 35,5 cos (4 × 2,40 + p/4) = - 20,2 см,

υ = - 35,5 × 4sin (4 × 2,40 + p/4) = 115,7 см/с.

Відповідь: х = - 20,2 см; υ = 115,7 см/с.

Приклад 2. В результаті додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку і близьких частот одержали результуюче рівняння x = A cos 2,1 t cos 50,0 t см. Визначити циклічні частоти коливань, які додаються, і період биття.

Дано:

x = A cos 2,1 t cos 50,0 t см

_______________________

w₁ –? w₂ –? Т_б –?

Розв’язування. Відомо, що при додаванні двох гармонічних коливань з близькими частотами w₁ і w₂ рівняння результуючого руху має вигляд:

х = .

Порівнюючи це рівняння і рівняння умови задачі, маємо

= 2,1 c^-1 i = 50,0 c^-1

Звідки w₁ = 47,9 c^-1; w₂ = 52,1 c^-1.

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса:

T_б = ,

де Т_б – період биття.

Знаходимо період биття

T_б = = 1,49 с

Відповідь: w₁ = 47,9 с^-1; w₂ = 52,1 с^-1; Т_б = 1,49 с.

Приклад 3. Задаються рівняння руху частинки х = Аsin wt і

y = В cos wt, де А і В – амплітуди коливань частинки вздовж координатних осей х і y. Знайти: а) рівняння траєкторії частинки у(х) і напрям її руху вздовж цієї траєкторії; б) прискорення а в залежності від напряму радіуса вектора .

Дано:

х = Аsin wt

y = В cos wt

___________

у(х) –? а –?

Розв’язування. Рівняння траєкторії частинки одержимо, якщо рівняння (1) і (2) записати в такому вигляді:

sin wt = , cos wt = .

Піднесемо до квадрата:

= sin²wt; = cos² wt;

Додавши ці рівняння одержимо:

+ = 1 – еліпс.

Будуємо цю траєкторію в декартовій системі координат (рис.1):

Рисунок 1

Аналізуючи рівняння умови задачі в різні моменти часу, знаходимо, напрям руху частинки вздовж траєкторії:

а) при t = 0, х = 0 і у = В – початок руху;

б) при t = p/4, х = А і у = 0 – наступна точка;

в) при t = T/2, х = 0 і у = -В і т. д.

Результуюче прискорення руху частинки визначаємо із відповідних прискорень руху вздовж осей х і у:

υ_х = А wсos wt; а_х= - А w² sin wt = - w² x;

υ_y = - В w sin wt; a_y= - Вw² cos wt = - w² y;

Модуль вектора дорівнює

a = w² = w² r,

де – модуль радіуса-вектора частинки в довільний момент часу.

Радіус-вектор частинки завжди направлений від початку координат до положення точки на траєкторії. Вектор результуючого прискорення завжди направлений від положення частинки на траєкторії руху до початку координат, тобто

Приклад 4. Однорідний стрижень поклали на два блоки, які швидко обертаються, як це показано на рис.2. Відстань між осями блоків l = 20 см, коефіцієнт тертя ковзання між стрижнем і блоками k = 0,18. Показати, що стрижень буде здійснювати гармонічні коливання. Знайти період цих коливань.

Дано: l = 20 см k = 0,18 ________ Т –?

Рисунок 2

Розв’язування. При зміщенні стрижня вліво на величину х від положення рівноваги сили тертя F₁ i F₂, які виникають між стержнем і блоками дорівнюють

F₁ = F₂ =

де r – густина матеріалу стрижня;

S – переріз стрижня;

k – коефіцієнт тертя ковзання.

Повертаюча сила, яка виникне в цьому випадку, буде дорівнювати:

F = – (F₁-F₂) = - 2 r g S k x. (1)

За другим законом Ньютона ця ж сила дорівнює:

F = m a. (2)

Порівнюючи праві частини рівностей (1) і (2), маємо

ma + 2 r g S k x = 0

aбо

x = 0. (3)

Одержане диференціальне рівняння (3) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань визначається співвідношенням:

w² =

звідки

T = 2p

або врахувавши, що m = rlS, одержимо:

T = 2p .

Підставимо числові значення:

T = 6,28 = 1,5 с.

Відповідь: Т = 1,5 с.

Приклад 5. Фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня довжиною 120 см коливається біля горизонтальної oсі, яка проходить перпендикулярно до стрижня через точку, віддалену на деяку відстань а від центра мас стрижня. При якому значенні а _е період коливань буде мати найменше значення? Знайти величину цього періоду?

Дано:

l = 120 см

_________

а_e –?

Т_min –?

Розв’язування. Відведений від положення рівноваги стрижень буде здійснювати коливання відносно закріпленої осі, яка збігається з віссю Z (рис.3). Покажемо, що при малих кутах відхилення (j < 7°), ці коливання будуть гармонічними. В будь-який момент часу на стрижень діють дві сили, сила тяжіння і сила реакції опори. Однак, обертаючий момент створюється лише силою тяжіння.

M =- mga sin j, (1)

де а – відстань від осі обертання до центра мас стрижня;

j – кут відхилення стрижня від положення рівноваги.

Для малих кутів sinj = j, а напрям вектора протилежний до напрямку осі Z, тому

M_z = - mga j, (2)

Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху цей момент дорівнює:

M_z = І . (3)

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3), одержимо:

I + mga j = 0.

Звідки:

j = 0. (4)

Рівняння (4) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань, квадрат циклічної частоти яких дорівнює:

(5)

де І – момент інерції стрижня відносно осі обертання;

а – відстань від точки підвісу до центра мас.

Момент інерції стрижня знайдемо за теоремою Штейнера згідно з якою:

I = I₀ + m a²,

де І₀ = ml² – момент інерції стрижня відносно осі, яка проходить через центр мас стрижня. Тому

І = m l² + ma². (6)

Підставимо (6) в (5) і визначимо період коливань

T = 2p . (7)

Для визначення екстремальної відстані а_е від центра мас до точки підвісу, похідну за а підкореневого виразу формули (7) прирівняємо до нуля:

= 0, .

Звідки

2 a ² - - a ² = 0;

a _e = ± . (8)

a_e = ± 0,34 м.

Величину а _ез (8) підставимо в (7) і знайдемо значення найменшого періоду коливань фізичного маятника:

T_min = 2p = 1,67 c.

Відповідь: а_е = 34 см; Т_min = 1,67 c.

Приклад 6. Кулька масою m і радіусом r котиться без ковзання по внутрішній поверхні циліндра радіусом R, виконуючи малі коливання біля положення рівноваги. Визначити період коливань кульки.

Рисунок 4

Розв’язування: На відведену від положення рівноваги кульку діють дві сили, сила тяжіння mg і сила реакції опори з точкою прикладання о₁. Обертаючий момент відносно миттєвої точки о₁ створюється лише силою тяжіння (рис.4.):

М = - mgr sin a, (1)

де mg – сила тяжіння;

r – радіус кульки;

a – кут відхилення радіуса-вектора кульки від положення рівноваги.

У випадку, коли кут a < 7°, sin a = a. В цьому випадку

M = - mgra. (2)

За основним рівнянням динаміки обертального руху момент сили тяжіння дорівнює

М = І b, (3)

де І – момент інерції кульки відносно миттєвої осі, яка проходить через точку о₁;

b – кутове прискорення кульки відносно точки о₁.

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3):

I b + mgr a = 0. (4)

Момент інерції кульки відносно миттєвої осі знаходимо за теоремою Штейнера:

I = mr² + mr² = mr². (5)

Кутове прискорення кульки b можна визначити через дотичне прискорення а _t і радіус кульки r:

a_t = b r. (6)

Дотичне прискорення а _t також можна визначити відносно точки о циліндра:

a_t = e (R - r), (7)

де e – кутове прискорення кульки відносно точки о, яке пов’язане із зміною кута повороту a за часом (e = a);

(R - r) – відстань від точки о до центра мас кульки.

Прирівняємо праві частини рівностей (6) і (7) і визначимо b:

b = . (8)

Значення І з (5) і b з (8) підставимо в (4), одержимо:

+ mgr a = 0.

Звідки

= 0. (9)

Диференціальне рівняння (9) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань дорівнює

w = .

Отже період коливань кульки:

T = 2p .

Приклад 7. Тіло масою 1 кг знаходиться у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,05 кг/с. З допомогою двох однакових пружин жорсткістю k = 50 Н/м кожна тіло утримується в положенні рівноваги, пружини при цьому недеформовані. Тіло змістили від положення рівноваги, як це показано на рис.5, і відпустили. Визначити: а) коефіцієнт згасання b; б) частоту n коливань; в) логарифмічний декремент коливань δ; г) число N коливань за час, протягом якого амплітуда коливань зменшиться в е разів; д) добротність коливальної системи.

Дано:

m = 1 кг

r = 0,05 кг/с

k = 50 Н/м

_____________

b –? n –? δ –?

N –? q –?

Рисунок 5

Розв’язування. На відведене від положення рівноваги тіло (рис.5) діють дві однакові сили F₁ = F₂ = kx, які направлені в один бік. Повертальна сила в цьому випадку дорівнює:

F_n = - 2kx. (1)

При русі тіла у в’язкому середовищі з боку останнього виникає сила опору, яка пропорційна швидкості руху тіла:

F₀ = - r . (2)

Інших сил в напрямі руху тіла при здійсненні коливань не існує. За другим законом Ньютона результуюча цих двох сил призводить до виникнення прискорення, тобто можна записати:

(3)

Рівняння (3) можна перетворити:

= 0, (4)

де = 2b, b – коефіцієнт згасання;

= w₀², w₀ – власна циклічна частота.

З урахуванням позначень рівняння (4) набуде вигляду:

= 0. (5)

Рівняння (5) є диференціальним рівнянням згасаючих коливань, розв’язком якого є функція:

x = A₀ e^-^b^t cos (wt + j). (6)

Розв’язування: а) коефіцієнт згасання дорівнює

b = = 0,025 c^-1;

б) частоту коливань n знайдемо за формулою:

= 1,59 c^-1;

в) логарифмічний декремент згасання дорівнює

δ = ln = 0,0157;

г) число коливань, які виконані коливальною системою за час t, протягом якого амплітуда зменшиться в е разів, дорівнює

N = ,

де t – час, за який амплітуда зменшується в e paзів;

Т – період згасаючих коливань.

Спочатку знайдемо час t

1 = ln = b t,

звідки

t = .

Тоді

N =

д) добротність коливальної системи

= 200.

Відповідь: n = 1,59 с^-1; δ= 0,0157; N = 64; q = 200.

Приклад 8. Частинку змістили від положення рівноваги на відстань А₀ = 1 см і відпустили. Який шлях пройде ця частинка, здійснюючи згасаючі коливання, до повної зупинки, якщо логарифмічний декремент згасання δ = 0,01?

Дано:

А₀ = 1 см

δ = 0,01

_________

S –?

Розв’язування. Зміщена від положення рівноваги частинка за першу чверть періоду, після того, як її відпустили, пройде шлях S₁ = A_0. За кожну наступну половину періоду частинка буде проходити відповідно шляхи

S₂ =2A₀ ; S₃ = 2A₀ ; S₄ = 2 A₀ × i т.д.

Весь шлях руху частинки буде дорівнювати

S = S₁ + S₂ + S₃ +....+ S_n.

Або

S = А₀ + 2А₀ + 2А₀ + 2А₀ +...+ 2А₀ .

Після спрощення одержимо

S = A₀ × .

В круглих дужках нескінченно спадна геометрична прогресія, сума членів якої визначається за формулою

S_n = ,

де а ₁ = – перший член геометричної прогресії;

q = – знаменник прогресії.

Тому

S = A₀ × .

Врахувавши те, що bТ =δ, одержимо

S = 0,01 × = 4 м

Відповідь: S = 4 м.

Приклад 9. До спіральної пружини жорсткістю 10 Н/м підвісили тягарець масою 10 г і занурили всю систему у в’язке середовище. Прийнявши коефіцієнт опору середовища рівним 0,1 кг/с, визначити: а) частоту n₀ власних коливань; б) резонансну частоту n_рез; в) резонансну амплітуду А_рез, якщо вимушувальна сила змінюється за гармонічним законом і її амплітудне значення F₀ = 0,02 Н; г) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення пiд дією сили F₀.

Дано:

k = 10 Н/м

m = 10 г

r = 0,1 кг/с

____________________

n₀ –? n_рез –? А_рез –? –?

Аналіз теорії задачі. На тягарець, який здійснює коливання, окрім сили тертя і пружної сили, діє зовнішня сила, яка змінюється за гармонічним законом. З урахуванням дії всіх сил диференціальне рівняння коливань матиме вигляд:

m + r + kx = F₀ cos w t. (1)

Поділимо рівняння (1) на масу тягарця m і введемо позначення:

; ; , одержимо

+ 2b × + w₀² x = f cos wt. (2)

Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Рoзв’язком такого рівняння є функція, яка складається з двох частин:

x = A₀e^-^b^t cos(wt + j) + A cos (wt + j). (3)

Через деякий час під дією вимушувальної сили коливання тягарця стануть стабільними. Тому розв’язком рівняння (2) буде лише функція

x = A cos (wt + j). (4)

Першу та другу похідні від (4) підставимо в (2):

= - Aw sin (wt + j) = Awcos (wt + j + p/2),

= - Aw² cos (wt + j) = Aw² cos (wt + j + p),

Aw² cos (wt + j + p) + 2 b Aw cos (wt + j + p/2) +

+ Aw² cos (wt + j) = f₀ cos wt. (5)

Введемо позначення: А₁ = Aw²; A₂ = 2 b Aw; A₃ = A w₀²; A₄ = f₀.

Для знаходження амплітуди А вимушених коливань скористаємось векторною діаграмою, на якій відкладемо амплітуди А₁, А₂, А₃, А₄ згідно з (5) (рис.6)

A₄² = A₂² + (A₃ - A₁)²

або врахувавши позначення, одержимо:

f₀² = 4b² A²w² + (w₀² - w²) A².

Звідки маємо: Рисунок 6

A = . (6)

Аналіз виразу (6) амплітуди вимушених коливань:

а) w << w₀, тобто w ® 0

A_ст = , (7)

де А_ст – статичне зміщення тягарця під дією сталої сили F ₀;

б) w» w₀

A_р = , (8)

де А_р – резонансне значення амплітуди (при b ® 0, А_p ® ¥).

Для знаходження резонансної частоти і резонансної амплітуди дослідимо на максимум підкореневий вираз формули (6):

= 0.

Звідки

w_р = , (9)

де w_р – резонансна частота вимушених коливань.

Значення w_р з (9) підставимо в (6)

A_р = . (10)

Якщо b ® 0, то A_р = , що збігається з формулою (8).

Розв’язування: а) частота n₀ власних коливань тягарця дорівнює

n₀ = = 5,03 c^-1;

б) резонансна частота знаходиться за формулою (9)

n_р =

= 4,91 c^-1;

в) резонансну амплітуду знайдемо за формулою (10)

A_рез = = 6,4 × 10^{-3 м};

г) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення тягарця, тобто добротність коливальної системи, дорівнює

= = 160.

Відповідь: n₀ = 5,03 с^-1; n_р = 4,91 с^-1; А_р = 6,4 мм; q = 160.

МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

Основні формули

1. Рівняння плоскої хвилі

де U_x,t – зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела;

А – амплітудне зміщення цих точок;

– хвильове число;

l – довжина хвилі;

w – циклічна частота коливань.

Рівняння сферичної хвилі

де r – радіус-вектор пружного середовища.

3. Зв’язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:

де υ – швидкість поширення хвиль в пружному середовищі;

Т – період коливань;

n – частота коливань.

4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):

а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:

де Е – модуль Юнга;

r – густина твердого середовища.

б) поперечна хвиля в твердому середовищі:

де G – модуль зсуву;

r – густина твердого середовища.

в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:

де K – модуль об’ємної пружності рідини;

r – густина рідини.

г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі:

5. Енергія пружних хвиль:

а) кінетична енергія

де m = rSDx – маса виділеного елементу пружного середовища;

– швидкість хвильового руху точок середовища;

б) потенціальна енергія

в) повна енергія хвиль

г) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період

6. Потік енергії пружних хвиль

R = ,

де – середнє значення повної енергії хвиль.

7. Вектор потоку енергії пружних хвиль

де – середня густина енергії пружних хвиль;

– вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.

8. Ефект Допплера для звукових хвиль

де – частота звуку яка сприймається приймачем;

n – частота звуку джерела;

с – швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі;

υ – швидкість руху приймача звуку;

u – швидкість руху джерела звуку (нижній знак – джерело і приймач розходяться; верхній знак – джерело і приймач сходяться).

9. Інтерференція когерентних хвиль:

а) максимуми інтерференції спостерігаються, коли

Dj = 2p ± 2n p,

де х₂ - х₁ – різниця ходу двох хвиль;

Dj – різниця фаз хвиль;

l – довжина хвилі;

n = 0, 1, 2, 3,... – порядок max.

Або

Dx = (x₂- x₁) = n × l;

б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:

Dj = 2p .

або

D x = (x₂- x₁) = (2n + 1) l/2.

10. Рівняння стоячої хвилі

u_x,t =

де u_x,t – зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань;

А – амплітуда зміщення;

k = – хвильове число;

w – циклічна частота коливань;

– амплітуда стоячої хвилі.

а) координати вузлів стоячої хвилі

kx = (2n + 1)p/2 або x = (2n + 1)l/4,

де n = 0, 1, 2, 3,...;

х – координати вузлів стоячої хвилі.

б) координати пучностей стоячої хвилі

kx = np або x = n l,

де n = 0, 1, 2, 3,....