Приклади розв’язування задач. (коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк

О. С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк

О. С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Вінниця

ВНТУ

УДК 530(078)

ББК 22.3я77

А18

 

Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України (протокол № 5 від 24.12.09 р.)

 

Рецензенти:

І. О. Сівак, доктор технічних наук, професор

О. В. Осадчук, доктор технічних наук, професор

В. Г. Дзісь, кандидат фізико-математичних наук, доцент

 

Авдєєв, С. Г.

А18Збірник задач з фізики. Ч. 2 (коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика): навчальний посібник / С. Г. Авдєєв, Т. І. Бабюк, О. С. Камінський. – Вінниця: ВНТУ, 2010. – 122 с.

Збірник задач складається з розділів “Механіка, електрика і електромагнетизм”, які традиційно викладаються в одному триместрі. Кожен окремий розділ супроводжується короткими теоретичними викладками і прикладами розв’язування задач.

В першу чергу збірник задач призначений для організації та проведення практичних занять з курсу загальної фізики студентами вищих технічних навчальних закладів. Велика кількість і різноманітність задач, які ввійшли до збірника задач, дозволяє широко організовувати самостійну та індивідуальну роботу студентів.

УДК 53(078)

ББК 22.3я77

© С. Авдєєв, Т. Бабюк, О. Камінський, 2010

ЗМІСТ

Частина 2

 

Гармонічні коливання і хвилі. Основні формули...................................... 3

Приклади розв’язування задач.................................................................. 8

Механічні хвилі. Основні формули.......................................................... 23

Приклади розв’язування задач................................................................. 27

Електромагнітні коливання і хвилі. Основні формули............................ 33

Приклади розв’язування задач................................................................. 36

Задачі.......................................................................................................... 39

Інтерференція світла. Основні формули................................................... 53

Приклади розв’язування задач................................................................. 61

Дифракція світла. Основні формули......................................................... 63

Поляризація світла. Основні формули..................................................... 67

Приклади розв’язування задач................................................................. 69

Дисперсія світла. Основні формули.......................................................... 73

Приклади розв’язування задач................................................................. 75

Теплове випромінювання. Основні формули........................................... 77

Приклади розв’язування задач................................................................. 78

Фотоефект. Основні формули................................................................... 82

Приклади розв’язування задач................................................................. 83

Тиск світла. Основні формули.................................................................. 85

Приклади розв’язування задач................................................................. 85

Ефект Компотна. Основні формули.......................................................... 86

Приклади розв’язування задач................................................................. 87

Задачі.......................................................................................................... 88

Література................................................................................................ 116

Додаток А................................................................................................. 117

Довідкові таблиці..................................................................................... 119

 

Частина 2

ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Основні формули

1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонічних коливаннях визначаються рівняннями:

 

х = А cos (w t + j₀),

υ = - A w sin (wt + j₀),

a = - A w²cos (wt + j₀) = - w² x,

 

де А – амплітуда коливань;

w – циклічна частота;

j₀ – початкова фаза коливань.

2. Зв’язок циклічної частоти w з періодом коливань Т і частотою n:

 

w = = 2 p n.

 

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіпружна сила):

 

F = ma = - m w² x = - k x,

 

де k = mw² – коефіцієнт квазіпружної сили, який вимірюється силою, що викликає зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

,

 

,

 

.

 

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ;

 

б) пружинний маятник

 

+ x = 0, де , звідки Т = 2p ;

 

в) фізичний маятник

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ,

 

де І – момент інерції маятника відносно осі коливань;

l – відстань від осі коливань до центра мас маятника;

– зведена довжина.

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань w називається власною циклічною частотою і позначається через w₀.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза j₀ визначаються рівняннями:

 

,

 

tq j₀ = ,

 

де А₁ і А₂ – амплітуди коливань, що складаються;

j₁ і j₂ – початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (w₁ » w₂) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

 

x = cos ,

 

 

де – амплітуда биття.

 

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

 

T_б = , звідки T_б = .

 

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

 

cos(j₂ - j₁) = sin² (j₂ - j₁),

 

де А₁ і А₂ – амплітуди коливань, що додаються;

j₂ - j₁ – різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння згасаючих коливань:

 

0

або

де b = – коефіцієнт згасання;

r – коефіцієнт опору середовища;

– власна циклічна частота коливань.

10. Загальний розв’язок диференціального рівняння для згасаючих коливань має вигляд:

x = A₀e^-bt cos (wt + a),

 

де А₀е^-bt – амплітуда згасаючих коливань;

w – циклічна частота згасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди згасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом згасання

 

δ= ln ,

 

де δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

Т – період згасаючих коливань.

12. Циклічна частота згасаючих коливань

 

w = або w = .

13. Період згасаючих коливань:

 

T = або Т = .

14. Добротність коливальних систем

 

q = 2p або q = ,

 

де W_t – повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

DW_{(t=T )} – втрати енергії коливальної системи за один період;

δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

w₀ – власна циклічна частота коливань;

Т – період згасаючих коливань (при малих згасаннях Т» Т₀).

 

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань

 

 

або

,

 

де F₀ – вимушувальна сила;

w – циклічна частота вимушених коливань.

 

16. Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушувальної сили має вигляд:

 

x = A cos (wt + a),

 

де А – амплітуда вимушених коливань;

a – зсув за фазою вимушених коливань і вимушувальної сили.

17. Амплітуда вимушених коливань

 

A = ,

де f₀ = ;

w₀ – власна частота коливань системи;

w – циклічна частота вимушувальної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

 

tga = - .

 

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

 

w_рез = ;

А_рез = .

 

 

Приклади розв’язування задач

 

Приклад 1. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги х = 0. Циклічна частота коливань w = 4 c^-1. В момент часу t = 0 координати частинки х₀ = 25,0 см, а її швидкість υ = 100 см/с. Знайти координату х і швидкість υ цієї частинки через t = 2,40 с.

Дано:

w = 4 с^-1

х₀ = 25,0 см

υ= 100,0 см/с

t = 2,40 с

___________

х –? υ –?

Розв’язування. Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

 

 

x = A cos (w t + j). (1)

 

Швидкість частинки в довільний момент часу дорівнює:

 

υ = - A w sin (w t + j). (2)

 

В початковий момент часу t = 0 величини х і υ відповідно дорівнюють х₀ і υ₀:

x₀ = A cos j i υ₀ = - Aw sin j. (3)

 

Розв’язавши систему рівнянь (3), одержимо значення амплітуди коливань і початкової фази:

 

= 1 звідки А = ;

 

cos j = звідки j = arc cos .

 

Числові значення амплітуди і початкової фази в одиницях умови задачі

A = = 35,5 cм,

j = arc cos .

 

Скориставшись значеннями амплітуди коливань і початкової фази, знаходимо координату х і швидкість υ в момент часу t:

 

x = 35,5 cos (4 × 2,40 + p/4) = - 20,2 см,

υ = - 35,5 × 4sin (4 × 2,40 + p/4) = 115,7 см/с.

 

Відповідь: х = - 20,2 см; υ = 115,7 см/с.

 

Приклад 2. В результаті додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку і близьких частот одержали результуюче рівняння x = A cos 2,1 t cos 50,0 t см. Визначити циклічні частоти коливань, які додаються, і період биття.

Дано:

x = A cos 2,1 t cos 50,0 t см

_______________________

w₁ –? w₂ –? Т_б –?

 

Розв’язування. Відомо, що при додаванні двох гармонічних коливань з близькими частотами w₁ і w₂ рівняння результуючого руху має вигляд:

 

х = .

Порівнюючи це рівняння і рівняння умови задачі, маємо

 

= 2,1 c^-1 i = 50,0 c^-1

Звідки w₁ = 47,9 c^-1; w₂ = 52,1 c^-1.

 

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса:

 

T_б = ,

де Т_б – період биття.

Знаходимо період биття

 

T_б = = 1,49 с

Відповідь: w₁ = 47,9 с^-1; w₂ = 52,1 с^-1; Т_б = 1,49 с.

Приклад 3. Задаються рівняння руху частинки х = Аsin wt і

y = В cos wt, де А і В – амплітуди коливань частинки вздовж координатних осей х і y. Знайти: а) рівняння траєкторії частинки у(х) і напрям її руху вздовж цієї траєкторії; б) прискорення а в залежності від напряму радіуса вектора .

Дано:

х = Аsin wt

y = В cos wt

___________

у(х) –? а –?

Розв’язування. Рівняння траєкторії частинки одержимо, якщо рівняння (1) і (2) записати в такому вигляді:

 

sin wt = , cos wt = .

Піднесемо до квадрата:

 

= sin²wt; = cos² wt;

 

Додавши ці рівняння одержимо:

 

+ = 1 – еліпс.

 

Будуємо цю траєкторію в декартовій системі координат (рис.1):

 

Рисунок 1

 

Аналізуючи рівняння умови задачі в різні моменти часу, знаходимо, напрям руху частинки вздовж траєкторії:

а) при t = 0, х = 0 і у = В – початок руху;

б) при t = p/4, х = А і у = 0 – наступна точка;

в) при t = T/2, х = 0 і у = -В і т. д.

Результуюче прискорення руху частинки визначаємо із відповідних прискорень руху вздовж осей х і у:

 

υ_х = А wсos wt; а_х= - А w² sin wt = - w² x;

 

υ_y = - В w sin wt; a_y= - Вw² cos wt = - w² y;

.

Модуль вектора дорівнює

 

a = w² = w² r,

 

де – модуль радіуса-вектора частинки в довільний момент часу.

Радіус-вектор частинки завжди направлений від початку координат до положення точки на траєкторії. Вектор результуючого прискорення завжди направлений від положення частинки на траєкторії руху до початку координат, тобто

.

 

Приклад 4. Однорідний стрижень поклали на два блоки, які швидко обертаються, як це показано на рис.2. Відстань між осями блоків l = 20 см, коефіцієнт тертя ковзання між стрижнем і блоками k = 0,18. Показати, що стрижень буде здійснювати гармонічні коливання. Знайти період цих коливань.

Дано: l = 20 см k = 0,18 ________ Т –?

Рисунок 2

Розв’язування. При зміщенні стрижня вліво на величину х від положення рівноваги сили тертя F₁ i F₂, які виникають між стержнем і блоками дорівнюють

F₁ = F₂ =

де r – густина матеріалу стрижня;

S – переріз стрижня;

k – коефіцієнт тертя ковзання.

Повертаюча сила, яка виникне в цьому випадку, буде дорівнювати:

 

F = – (F₁ -F₂) = - 2 r g S k x. (1)

 

За другим законом Ньютона ця ж сила дорівнює:

 

F = m a. (2)

 

Порівнюючи праві частини рівностей (1) і (2), маємо

 

ma + 2 r g S k x = 0

aбо

 

x = 0. (3)

 

Одержане диференціальне рівняння (3) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань визначається співвідношенням:

 

w² =

звідки

T = 2p

або врахувавши, що m = rlS, одержимо:

 

T = 2p .

Підставимо числові значення:

 

T = 6,28 = 1,5 с.

 

Відповідь: Т = 1,5 с.

Приклад 5. Фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня довжиною 120 см коливається біля горизонтальної oсі, яка проходить перпендикулярно до стрижня через точку, віддалену на деяку відстань а від центра мас стрижня. При якому значенні а _е період коливань буде мати найменше значення? Знайти величину цього періоду?

 

Дано:

l = 120 см

_________

а_e –?

Т_min –?

 

Розв’язування. Відведений від положення рівноваги стрижень буде здійснювати коливання відносно закріпленої осі, яка збігається з віссю Z (рис.3). Покажемо, що при малих кутах відхилення (j < 7°), ці коливання будуть гармонічними. В будь-який момент часу на стрижень діють дві сили, сила тяжіння і сила реакції опори. Однак, обертаючий момент створюється лише силою тяжіння.

 

M =- mga sin j, (1)

де а – відстань від осі обертання до центра мас стрижня;

j – кут відхилення стрижня від положення рівноваги.

Для малих кутів sinj = j, а напрям вектора протилежний до напрямку осі Z, тому

 

M_z = - mga j, (2)

 

Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху цей момент дорівнює:

 

M_z = І . (3)

 

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3), одержимо:

 

I + mga j = 0.

Звідки:

j = 0. (4)

 

Рівняння (4) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань, квадрат циклічної частоти яких дорівнює:

 

(5)

 

де І – момент інерції стрижня відносно осі обертання;

а – відстань від точки підвісу до центра мас.

Момент інерції стрижня знайдемо за теоремою Штейнера згідно з якою:

I = I₀ + m a²,

 

де І₀ = ml² – момент інерції стрижня відносно осі, яка проходить через центр мас стрижня. Тому

І = m l² + ma². (6)

 

Підставимо (6) в (5) і визначимо період коливань

T = 2p . (7)

 

Для визначення екстремальної відстані а_е від центра мас до точки підвісу, похідну за а підкореневого виразу формули (7) прирівняємо до нуля:

= 0, .

Звідки

2 a ² - - a ² = 0;

 

a _e = ± . (8)

a_e = ± 0,34 м.

 

Величину а _е з (8) підставимо в (7) і знайдемо значення найменшого періоду коливань фізичного маятника:

T_min = 2p = 1,67 c.

Відповідь: а_е = 34 см; Т_min = 1,67 c.

 

Приклад 6. Кулька масою m і радіусом r котиться без ковзання по внутрішній поверхні циліндра радіусом R, виконуючи малі коливання біля положення рівноваги. Визначити період коливань кульки.

 

Рисунок 4

 

Розв’язування: На відведену від положення рівноваги кульку діють дві сили, сила тяжіння mg і сила реакції опори з точкою прикладання о₁. Обертаючий момент відносно миттєвої точки о₁ створюється лише силою тяжіння (рис.4.):

М = - mgr sin a, (1)

 

де mg – сила тяжіння;

r – радіус кульки;

a – кут відхилення радіуса-вектора кульки від положення рівноваги.

У випадку, коли кут a < 7°, sin a = a. В цьому випадку

 

M = - mgra. (2)

 

За основним рівнянням динаміки обертального руху момент сили тяжіння дорівнює

 

М = І b, (3)

 

де І – момент інерції кульки відносно миттєвої осі, яка проходить через точку о₁;

b – кутове прискорення кульки відносно точки о₁.

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3):

 

I b + mgr a = 0. (4)

 

Момент інерції кульки відносно миттєвої осі знаходимо за теоремою Штейнера:

I = mr² + mr² = mr². (5)

 

Кутове прискорення кульки b можна визначити через дотичне прискорення а _t і радіус кульки r:

a_t = b r. (6)

 

Дотичне прискорення а _t також можна визначити відносно точки о циліндра:

a_t = e (R - r), (7)

 

де e – кутове прискорення кульки відносно точки о, яке пов’язане із зміною кута повороту a за часом (e = a);

(R - r) – відстань від точки о до центра мас кульки.

Прирівняємо праві частини рівностей (6) і (7) і визначимо b:

b = . (8)

Значення І з (5) і b з (8) підставимо в (4), одержимо:

 

+ mgr a = 0.

Звідки

= 0. (9)

 

Диференціальне рівняння (9) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань дорівнює

 

w = .

 

Отже період коливань кульки:

 

T = 2p .

Приклад 7. Тіло масою 1 кг знаходиться у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,05 кг/с. З допомогою двох однакових пружин жорсткістю k = 50 Н/м кожна тіло утримується в положенні рівноваги, пружини при цьому недеформовані. Тіло змістили від положення рівноваги, як це показано на рис.5, і відпустили. Визначити: а) коефіцієнт згасання b; б) частоту n коливань; в) логарифмічний декремент коливань δ; г) число N коливань за час, протягом якого амплітуда коливань зменшиться в е разів; д) добротність коливальної системи.

 

 

Дано:

m = 1 кг

r = 0,05 кг/с

k = 50 Н/м

_____________

b –? n –? δ –?

N –? q –?

	Рисунок 5

 

Розв’язування. На відведене від положення рівноваги тіло (рис.5) діють дві однакові сили F₁ = F₂ = kx, які направлені в один бік. Повертальна сила в цьому випадку дорівнює:

 

F_n = - 2kx. (1)

 

При русі тіла у в’язкому середовищі з боку останнього виникає сила опору, яка пропорційна швидкості руху тіла:

 

F₀ = - r . (2)

Інших сил в напрямі руху тіла при здійсненні коливань не існує. За другим законом Ньютона результуюча цих двох сил призводить до виникнення прискорення, тобто можна записати:

 

(3)

 

Рівняння (3) можна перетворити:

 

= 0, (4)

 

де = 2b, b – коефіцієнт згасання;

= w₀², w₀ – власна циклічна частота.

 

З урахуванням позначень рівняння (4) набуде вигляду:

 

= 0. (5)

 

Рівняння (5) є диференціальним рівнянням згасаючих коливань, розв’язком якого є функція:

 

x = A₀ e^-bt cos (wt + j). (6)

Розв’язування: а) коефіцієнт згасання дорівнює

 

b = = 0,025 c^-1;

 

б) частоту коливань n знайдемо за формулою:

 

= 1,59 c^-1;

 

в) логарифмічний декремент згасання дорівнює

 

δ = ln = 0,0157;

 

г) число коливань, які виконані коливальною системою за час t, протягом якого амплітуда зменшиться в е разів, дорівнює

 

N = ,

 

де t – час, за який амплітуда зменшується в e paзів;

Т – період згасаючих коливань.

Спочатку знайдемо час t

1 = ln = b t,

звідки

t = .

Тоді

N =

 

д) добротність коливальної системи

 

= 200.

Відповідь: n = 1,59 с^-1; δ= 0,0157; N = 64; q = 200.

Приклад 8. Частинку змістили від положення рівноваги на відстань А₀ = 1 см і відпустили. Який шлях пройде ця частинка, здійснюючи згасаючі коливання, до повної зупинки, якщо логарифмічний декремент згасання δ = 0,01?

Дано:

А₀ = 1 см

δ = 0,01

_________

S –?

Розв’язування. Зміщена від положення рівноваги частинка за першу чверть періоду, після того, як її відпустили, пройде шлях S₁ = A_0. За кожну наступну половину періоду частинка буде проходити відповідно шляхи

 

S₂ =2A₀ ; S₃ = 2A₀ ; S₄ = 2 A₀ × i т.д.

 

Весь шлях руху частинки буде дорівнювати

 

S = S₁ + S₂ + S₃ +....+ S_n.

Або

S = А₀ + 2А₀ + 2А₀ + 2А₀ +...+ 2А₀ .

 

Після спрощення одержимо

 

S = A₀ × .

 

В круглих дужках нескінченно спадна геометрична прогресія, сума членів якої визначається за формулою

 

S_n = ,

де а ₁ = – перший член геометричної прогресії;

q = – знаменник прогресії.

Тому

S = A₀ × .

 

Врахувавши те, що bТ =δ, одержимо

 

S = 0,01 × = 4 м

 

Відповідь: S = 4 м.

Приклад 9. До спіральної пружини жорсткістю 10 Н/м підвісили тягарець масою 10 г і занурили всю систему у в’язке середовище. Прийнявши коефіцієнт опору середовища рівним 0,1 кг/с, визначити: а) частоту n₀ власних коливань; б) резонансну частоту n_рез; в) резонансну амплітуду А_рез, якщо вимушувальна сила змінюється за гармонічним законом і її амплітудне значення F₀ = 0,02 Н; г) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення пiд дією сили F₀.

Дано:

k = 10 Н/м

m = 10 г

r = 0,1 кг/с

____________________

n₀ –? n_рез –? А_рез –? –?

 

Аналіз теорії задачі. На тягарець, який здійснює коливання, окрім сили тертя і пружної сили, діє зовнішня сила, яка змінюється за гармонічним законом. З урахуванням дії всіх сил диференціальне рівняння коливань матиме вигляд:

m + r + kx = F₀ cos w t. (1)

 

Поділимо рівняння (1) на масу тягарця m і введемо позначення:

 

; ; , одержимо

 

+ 2b × + w₀² x = f cos wt. (2)

 

Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Рoзв’язком такого рівняння є функція, яка складається з двох частин:

 

x = A₀e^-bt cos(wt + j) + A cos (wt + j). (3)

 

Через деякий час під дією вимушувальної сили коливання тягарця стануть стабільними. Тому розв’язком рівняння (2) буде лише функція

 

x = A cos (wt + j). (4)

 

Першу та другу похідні від (4) підставимо в (2):

 

= - Aw sin (wt + j) = Awcos (wt + j + p/2),

 

= - Aw² cos (wt + j) = Aw² cos (wt + j + p),

Aw² cos (wt + j + p) + 2 b Aw cos (wt + j + p/2) +

+ Aw² cos (wt + j) = f₀ cos wt. (5)

 

Введемо позначення: А₁ = Aw²; A₂ = 2 b Aw; A₃ = A w₀²; A₄ = f₀.

Для знаходження амплітуди А вимушених коливань скористаємось векторною діаграмою, на якій відкладемо амплітуди А₁, А₂, А₃, А₄ згідно з (5) (рис.6)

A₄² = A₂² + (A₃ - A₁)²

 

або врахувавши позначення, одержимо:

 

f₀² = 4b² A² w² + (w₀² - w²) A².

 

Звідки маємо: Рисунок 6

 

A = . (6)

 

Аналіз виразу (6) амплітуди вимушених коливань:

а) w << w₀, тобто w ® 0

A_ст = , (7)

де А_ст – статичне зміщення тягарця під дією сталої сили F ₀;

б) w» w₀

A_р = , (8)

 

де А_р – резонансне значення амплітуди (при b ® 0, А_p ® ¥).

 

Для знаходження резонансної частоти і резонансної амплітуди дослідимо на максимум підкореневий вираз формули (6):

 

= 0.

Звідки

w_р = , (9)

 

де w_р – резонансна частота вимушених коливань.

Значення w_р з (9) підставимо в (6)

 

A_р = . (10)

 

Якщо b ® 0, то A_р = , що збігається з формулою (8).

Розв’язування: а) частота n₀ власних коливань тягарця дорівнює

 

n₀ = = 5,03 c^-1;

 

б) резонансна частота знаходиться за формулою (9)

 

n_р =

 

= 4,91 c^-1;

 

в) резонансну амплітуду знайдемо за формулою (10)

 

A_рез = = 6,4 × 10^{-3 м};

 

г) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення тягарця, тобто добротність коливальної системи, дорівнює

 

= = 160.

 

 

Відповідь: n₀ = 5,03 с^-1; n_р = 4,91 с^-1; А_р = 6,4 мм; q = 160.

МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

 

Основні формули

1. Рівняння плоскої хвилі

,

 

де U_x,t – зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела;

А – амплітудне зміщення цих точок;

– хвильове число;

l – довжина хвилі;

w – циклічна частота коливань.

 

Рівняння сферичної хвилі

,

 

де r – радіус-вектор пружного середовища.

3. Зв’язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:

 

де υ – швидкість поширення хвиль в пружному середовищі;

Т – період коливань;

n – частота коливань.

4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):

а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:

 

 

де Е – модуль Юнга;

r – густина твердого середовища.

б) поперечна хвиля в твердому середовищі:

 

,

де G – модуль зсуву;

r – густина твердого середовища.

в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:

 

,

 

де K – модуль об’ємної пружності рідини;

r – густина рідини.

 

г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі:

,

5. Енергія пружних хвиль:

а) кінетична енергія

,

де m = rSDx – маса виділеного елементу пружного середовища;

– швидкість хвильового руху точок середовища;

б) потенціальна енергія

в) повна енергія хвиль

 

 

г) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період

6. Потік енергії пружних хвиль

R = ,

 

де – середнє значення повної енергії хвиль.

 

7. Вектор потоку енергії пружних хвиль

 

,

де – середня густина енергії пружних хвиль;

– вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.

 

8. Ефект Допплера для звукових хвиль

 

n,

 

де – частота звуку яка сприймається приймачем;

n – частота звуку джерела;

с – швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі;

υ – швидкість руху приймача звуку;

u – швидкість руху джерела звуку (нижній знак – джерело і приймач розходяться; верхній знак – джерело і приймач сходяться).

9. Інтерференція когерентних хвиль:

а) максимуми інтерференції спостерігаються, коли

 

Dj = 2p ­ ± 2n p,

де х₂ - х₁ – різниця ходу двох хвиль;

Dj – різниця фаз хвиль;

l – довжина хвилі;

n = 0, 1, 2, 3,... – порядок max.

 

Або

Dx = (x₂ - x₁) = n × l;

 

б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:

 

Dj = 2p .

або

D x = (x₂ - x₁) = (2n + 1) l/2.

 

10. Рівняння стоячої хвилі

 

u_x,t =

де u_x,t – зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань;

А – амплітуда зміщення;

k = – хвильове число;

w – циклічна частота коливань;

– амплітуда стоячої хвилі.

 

а) координати вузлів стоячої хвилі

 

kx = (2n + 1)p/2 або x = (2n + 1)l/4,

 

де n = 0, 1, 2, 3,...;

х – координати вузлів стоячої хвилі.

 

б) координати пучностей стоячої хвилі

 

kx = np або x = n l,

 

де n = 0, 1, 2, 3,....