Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

 

 

Однією із основних задач диференціального числення є знаходження похідної заданої функції . Різноманітні питання математичного аналізу і його застосувань приводять до оберненої задачі: для даної функції знайти таку функцію , похідна якої рівна , тобто = .

Відтворення функції за відомою її похідною - одна із основних задач інтегрального числення.

Функція називається первісною для функції , на деякому проміжку Х, якщо для усіх значень х Î Х виконується рівність = .

 

Якщо - первісна для функції , то й функція , де С - довільна стала, також є первісною для функції , оскільки ( )′ = + С ′= + 0 = .

Нехай первісною функції на проміжку Х, крім функції , є функція , тобто = . Розглянемо різницю - . Обчислимо похідну цієї різниці.

 

( - )′ = - = - = 0.

 

Отже, згідно з теоремою Лагранжа - = С. Звідси маємо: = + С.

Таким чином, множина первісних функції на проміжку Х, вичерпується функціями виду + С, де - одна із первісних функції .

Означення. Сукупність усіх первісних функції на проміжку Х називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається .

Невизначений інтеграл інакше називають інтегралом Ньютона - Лейбніца.

Якщо - одна з первісних функції , то за означенням

 

= + С.

Знак називається знаком невизначеного інтеграла, - підінтегральною функцією, а - підінтегральним виразом.

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

 

 

Основні властивості невизначеного інтеграла

 

 

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

 

( )′ = + С ′= .

 

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

 

d ( ) = d = d(x).

 

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної.

= .

 

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо k = const ¹ 0, то

 

.

 

Для доведення цієї властивості досить показати, що права чстина рівності є первісною підінтегральної функції:

 

.

 

5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції, тобто

 

.

Доведення.

 

.

Таблиця основних інтегралів

 

 

Безпосередньо із означення визначеного інтеграла випливають наступні формули, котрі утворюють таблицю основних інтегралів:

 

1. ,

2. ,

3. ,

4.

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14.

 

Безпосереднє інтегрування

 

 

Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці основних інтегралів та їх властивостей називається безпосереднім інтегруванням.

Приклади.

 

1. .

 

2. . 3. .

4..

Метод підстановки

В основі методу підстановки (методу заміни змінної) лежить формула диференціювання складеної функції. Якщо F ′(x) = f (x), х Î(a, b), то для довільної диференційованої на проміжку (a, b) функції x = j(t), де j(t) Î(a, b), якщо t Î(a, b) маємо:

 

(F (j(t)))′ = F ′(x) j′(t) = f (x) j′(t) = f (j(t)) j′(t).

 

Таким чином,

 

,

тобто

.

Приклади.

1. Обчислити інтеграл .

Розв’язування. Покладемо , . Тоді

.

 

2. Обчислити інтеграл .

Розв’язування. Покладемо . Отже,

 

.

Інтегрування частинами

 

Нехай функції і визначені й диференційовані на деякому проміжку Х. Тоді

 

.

Звідси маємо

 

.

 

Припустимо, що інтеграл існує. Тоді

 

.

 

Оскільки , то

 

. (1)

 

Довільну сталу С включає в себе інтеграл .

Формула (1) називається формулою інтегрування частинами.

За цією формулою обчислюються, зокрема інтеграли виду

 

1) , , ,

 

де - многочлен n -ного степеня відносно х, . Тут слід прийняти .

 

2) , , , ,

 

Тут також - многочлен n -ного степеня відносно х. У цих інтегралах .

Приклади.

 

 

.

 

.

 

 

ЛЕКЦІЯ 24

 

34. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів.

35. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

 

 

1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів

 

Розглянемо дробово-раціональну функцію , де -

многочлен n -го степеня, а - многочлен k -го степеня. Якщо n ³ k, то, виконавши ділення, одержимо

 

,

 

де r < k. Наприклад,

 

.

 

У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у вигляді добутку

 

, (1)

 

де А -коефіцієнт при старшому членові многочлена , а - корені рівняння = 0. Множники називаються елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо

 

, (2)

 

де . Числа називаються кратностями коренів . Серед коренів можуть бути й комплексні. Якщо - r -кратний комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений з r -кратний корінь . Отже, якщо формула (2) містить множник , де , то вона також містить і множник . Перемноживши ці множники, одержимо

 

= ,

 

де , , p, q - дійсні числа.

Ураховуючи всі комплексні корені многочлена , формулу (2) можна записати у вигляді

 

,

 

де - дійсні числа.

Дріб , де r < n називається правильним раціональним дробом.

Теорема. Правильний раціональний дріб , де

 

можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів

 

 

,

 

де - дійсні числа.

Подання, про яке йдеться у наведеній теоремі, можна виконати методом невизначених коефіцієнтів, котрий розглянемо на наступному прикладі.

Приклад. Розкласти на найпростіші дроби

 

.

Розв’язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:

 

,

 

де - поки що невідомі числа.

Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.

 

 

 

Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для визначення коефіцієнтів складемо систему

 

 

Розв’язавши цю систему, одержимо:

 

.

Отже,

 

.