Задача про миттєву швидкість. Нехай матеріальна точка 
рухається вздовж прямої. Позначимо відстань точки до деякої початкової точки 
даної прямої в момент часу 
через 
. Тоді в момент часу 
, де 
- приріст часу, точка буде знаходитися на відстані від точки рівній 
. Різницю 
назвемо приростом ляху.
Відношення 
називається середньою швидкістю руху точки за проміжок часу .
Швидкістю руху точки в момент часу або миттєвою швидкістю називається границя відношення 
при 
, тобто
.
Приклад. Знайти миттєву швидкість рівномірно прискореного руху матеріальної точки з початковою швидкістю 
і прискоренням 
.
Розв'язування. Залежність шляху 
від часу при рівно прискореному русі виражається формулою 
. Тоді 
. Отже,
.
Після спрощення одержуємо
.
Таким чином
.
Задача про лінійну густину неоднорідного стержня. Нехай треба знайти густину неоднорідного прямолінійного стержня в точці , яка знаходиться на відстані 
від початкової точки (див. рис. 11).
Позначимо 
величину маси відрізка 
. Візьмемо деяку точку 
, яка знаходиться на відстані 
від початкової точки . Тоді маса відрізка 
буде рівною 
. Отже, маса відрізка 
, яку ми назвемо приростом маси в точці ,
.
Відношення 
називається середньою густиною стержня на відрізку 
і позначається 
.
Лінійною густиною стержня в точці називається границя відношення 
при 
, тобто
.
Приклад. Нехай маса стержня довжини задається формулою 
, де 
- сталі числа. Знайти лінійну густину в точці , яка знаходиться на відстані від початку стержня.
Розв'язування. Знайдемо приріст маси в точці
.
Отже,
.
Задача про дотичну до кривої. Дотичною до кривої 
в точці називається пряма , з якою співпадає граничне положення січної 
за умови, що точка 
по кривій прямує до точки (рис. 12).
 |
Зазначимо, що не в кожній точці крива може мати дотичну. В точках, яких крива зазнає зламу, дотична до кривої не існує. Так, наприклад, не існують дотичні у точці
кривої 
(рис. 13), точці 
кривої 
(рис. 14), точці 
кривої 
(рис. 15).
 |
Розглянемо криву, яка задана в системі координат рівнянням
, де 
неперервна функція, визначена на деякому проміжку 
. Поставимо задачу: знайти кутовий коефіцієнт 
дотичної до кривої в точці 
, де 
(рис. 16).
Візьмемо на кривій точку 
. Через точки 
проведемо січну. Нехай вона утворює з додатним напрямом осі 
кут 
. Тоді 
.
Якщо точка по кривій наближатиметься до точки , то координати точки наближатимуться до координат точки , тобто
.
Звідси випливає, що коли точка 
, то 
. З іншого боку, якщо , то за неперервністю функції маємо: 
, тобто і при цьому 
. Таким чином
.
Розглянуті задачі різні за своїм змістом, але вони відрізняються одним і тим способом, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначити через , а залежну змінну – через 
, то для знаходження розв'язку кожної із них потрібно знаходити границю відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто
.
Означення похідної
Нехай в деякому проміжку визначена функція . Виберемо довільну точку 
і надамо 
приросту такого, що 
.
Зазначимо, що може бути як додатним, так і від'ємним. При цьому функція одержить приріст 
. Нехай в точці існує границя .
Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.
Похідну функції в точці позначають так: 
або 
. Отже, за означенням
.
Якщо функція має похідну в кожній точці 
, то похідна є функцією від і в цьому випадку позначається так: 
або 
.
