Наслідки з теореми Лагранжа

1. Якщо функція на відрізку , має похідну , то на відрізку стала.

Враховуючи, що похідна від сталої функції дорівнює нулю, що було установлено раніше, і сформульований щойно наслідок. можна сформулювати критерій сталості диференційованої на заданому проміжку функції:

Для того, щоб функція , диференційована на проміжку , була сталою, необхідно і достатньо, щоб її похідна була рівною нулю в усіх точках цього проміжку.

3) Якщо функції і неперервні на проміжку і при будь-якому , то функція є сталою, тобто , де .

 

 

Теорема Коші

 

Теорема. Якщо функції і 1) неперервні на відрізку ,

2) диференційовані на інтервалі , і ,

то існує точка така, що .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію

 

.

 

Легко перевірити, що ця функція задовольняє всім умовам теореми Ролля: неперервна на , диференційована на і . Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Оскільки

 

,

 

то

 

.

 

Звідси маємо

 

.

 

Одержана формула називається формулою Коші або узагальненою формулою скінчених приростів.

Зауваження. У формулі Коші тому, що за умови , згідно з теоремою Ролля існувала б точка така, що , що суперечить умові .

 

 

ЛЕКЦІЯ 19

 

22. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

2.Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .

Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

Теорема 1 (правило Лопіталя). Нехай функції і визначені в проміжку і . Нехай, крім того, в проміжку існують скінченні похідні і , причому . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

 

.

 

 

Доведення. Доозначимо в точці функції і , поклавши . Тоді на відрізку функції і задовольняють умовам теореми Коші. Отже,

 

,

 

де . Якщо , то зрозуміло, що й . Враховуючи, що і те, що існує границя , робимо висновок

 

.

 

Зауваження. Якщо похідні і задовольняють умовам, котрі накладаються в наведеній теоремі на функції і , то правило Лопіталя можна застосувати повторно, тобто

 

.

 

Теорема 1 справджується й тоді, коли . Нехай функції і визначені в проміжку , , і в проміжку існують скінчені похідні та , де . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

 

.

 

Для доведення цього твердження достатньо покласти і застосувати теорему 1.

Теорема 2 (правило Лопіталя). Нехай функції і визначені в проміжку , і в проміжку існують скінчені похідні та , причому . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

 

.

 

Доведення цієї теореми можна прочитати, наприклад, в книзі Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, т. 1. - М.: Наука, 1964. Теорема 2 має місце також, коли .

Правило Лопіталя дає можливість розкривати невизначеності типу .

 

Приклади.

1.

2.